教えてください（再質問）

質問

平面上に直線lと△ABCがある。△ABCの重心をG,辺BCの中点をMとし、直線lにA,B,C,Mから下ろした垂線の足をそれぞれP,Q,R,Sとする。

　I.lがGを通り、辺BCと共有点をもたないとき、次のことを示せ。
　（１）2MS=BQ+CR
　（２）AP=BQ+CR

　II　直線lが△ABCと共通部分をもたないとき、Gからlに下ろした垂線の足をTとして、次の式が成り立つことを示せ。

　　AP+BQ+CR=3GT

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（滋賀医科大学）

　　前回の回答では分かりませんでした。お助けください。再チャレンジです！
　　週明けに迫ってきました。

回答No.4

naniwacchi · ベストアンサー

どなたが「再チャレンジ」なのかわかりませんが。

Ｉ．
#2さんが書かれているとおり、
図を描いて「直線Ｌに対する垂線は、すべて平行」になっていることを利用すれば、
中学生でも示すことができます。

ＩＩ．
これも図を描いて、垂線が平行であることを利用できます。
たとえば、2*MS＝ BQ+ CRは Ｉ．と同様に成り立ちます。

また、線分MS、GT、APに着目すれば、「1：3」なる辺の比が得られます。

別解として、
直線Lを x軸とするようにして、3点A、B、Cの座標を適当に与えて考える方法もあります。
この場合、各垂線の長さは点の y座標として扱えます。

お礼

別解いただきます。ごちそうさまでした。

回答No.3

noname#199771

#2です。
（II)のtはeの間違いでした。失礼。

回答No.2

noname#199771

締め切るの早すぎますよ。

x・yはベクトルxとyの内積、|x|はベクトルxの長さを表すとします。
Lは原点を通る直線として、eをLの方向ベクトルで長さが１であるとします。
A,B,C,M,G,P,Q,R,S,Tの位置ベクトルをそれぞれa,b,c,m,g,p,q,r,s,tと書くことにします。

L上にない平面上の任意の点XからLに下ろした垂線の足までの距離は、
|x-(x・e)e|と表せます。

ここまで準備しておきます。

（I)e=g/|g|としてよいです。

(1)MS=|m-(m・e)|=|(1/2)(b-(b・e)e)+(1/2)(c-(c・e)e)|
となります。ここで、lがBCと共有点を持たないことから、向きが同じ２つの
ベクトルの和の長さはそれぞれの長さに等しいことを使って計算してみてく
ださい。（計算省略）

(2)a=3g-2mを使って、
AP=|a-(a・e)e|を計算してください。（計算省略）

（II)
3GT=3|g-(g・t)t|を計算してください。（計算省略）

回答No.1

j-mayol

古い質問をきちんと締め切られたようですのでお答えします。
数学カテゴリでは丸投げ質問は答えてもらえない可能性が高いです。
自分でどこまで理解したのか、分からないところはどこかはっきりさせて
質問されたほうが良いと思います。

閑話休題
ヒントを出しますので考えてください。それでも分からないときは返信してください。

(1)問題文の図形をアバウトでいいので作図する
(2)平行線と線分の比を利用する
(3)重心は中線を２：１に内分する

以上です。

お礼

アドバイスありがとうございました。
おかげで助かりました。また機会ありましたらお世話になります。