正三角形の面積の最小値

質問

各辺の長さが１、２、√３の三角形の各辺に一点ずつ頂点を持つ正三角形の面積の最小値を求めよ。

という問題なのですが、90°60°30°の三角形の中に正三角形でいろいろ情報があるので、正三角形の一辺をｘとしてみたのですがどうやれば最小という関係を導けるのかがわかりませんでした。
何らかのヒントやアドバイスいただければ幸いです。
回答よろしくお願いします

回答No.5

take008 · ベストアンサー

OA=√3，OB=1，AB=2 とすると
OP:PA=2:5
OQ:QB=3:4
AR:RB=9:5
のPQRが最小の正三角形で
PQ=√(3/7)
です。

回答No.7

mister_moonlight

ごめんなさい、計算ミスをしていたようです。

＞ＡＲ＋ＣＲ＝2であるから、これに(1)と(2)を代入して整理すると、x＝√3/(sinθ+√3cosθ)となる。

x＝√3/(2sinθ+√3cosθ)でした。
分母＝2sinθ+√3cosθ＝√7*sin(θ＋α)≦√7。
但し、αはcosα＝2/√7、sinα＝3/√7を満たす。

以上から、xの最小値は√21/7。

お礼

回答してくださった皆さん本当にありがとうございました。おかげさまでスッキリ理解できました。

回答No.6

redowl

＃５さん、が正解。
一辺 0.654・・・・・が最小でした。
余弦定理で検算。

直感思考の　一辺（２／３）正三角形=0.6666666・・・・・白旗m(_ _)m #3&4

回答No.4

redowl

＃３です。
作図して、
最小三角形の二等分の形（直角三角形）が
（１、２、√３直角三角形）の直角部分に出来る直角三角形とが　合同　で有ることを証明すれば、
角度が　明確になります。
答え（角度）が一つに限定されるので「もやっと」が「スッキリ」になると思います。

回答No.3

redowl

＞１、２、√３の三角形
正三角形を　半分にたたんだ形（三角定規の30,60,90度）
作図して、・・・・直感で、一辺の長さが（2／3）の正三角形かな？？？？？？？？
これだと、面積　√３／9

しかし、この図形が最小であるという証明をしなければならない。
計算で・・・・
（問題の直角三角形の場合で、内部に作れる正三角形は、１つだけであるか？否か？・・・問題は、単純。しかし、奥深い問題）

回答No.2

mister_moonlight

他に、もっと簡単な方法があるかもしれませんが、一応一般的と思われる方法で。。。。。

∠Ａ＝π/6、∠Ｂ＝∠Ｒ、∠Ｃ＝π/3とする。
辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ上に各々点Ｐ、Ｑ、Ｒをとり、ＰＱ＝ＱＲ＝ＲＰ＝x、∠ＰＱＢ＝θ　(0＜θ＜2π/3)とする。
△ＡＰＲに正弦定理を用いると、∠ＡＰＲ＝θ＋π/6より、x/sin(π/6)＝ＡＲ/sin(θ＋π/6)であるから、ＡＲ＝2x*sin(θ＋π/6)　‥‥(1)
△ＣＱＲに正弦定理を用いると、∠ＣＱＲ＝2π/3-θより、x/sin(π/3)＝ＣＲ/sin(2π/3-θ)であるから、ＣＲ＝{2x*sin(2π/3-θ)}/√3　‥‥(2)

ＡＲ＋ＣＲ＝2であるから、これに(1)と(2)を代入して整理すると、x＝√3/(sinθ+√3cosθ)となる。
従って、これの分母の最大値を求めると良い。
sinθ+√3cosθ＝2sin(θ＋π/3)‥‥(3)
π/3＜θ＋π/3＜πより、θ＋π/3＝π/2　即ちθ＝π/6　の時に(3)が最大になる。
以上から、xの最小値は√3/2.

＃　計算のチェックをお願いします。

回答No.1

kaduno

単純に、大きい三角形(90°60°30°)の内接円を描けば良いのでは？
その円と大きい三角形の辺との交点を結ぶと正三角形になりますが。