次の三角比の問題 解説お願いします

質問

ＡＢ＝２、ＡＤ＝３、ＡＥ＝４である直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがある。
∠ＡＦＣ＝θとするとき
ｓｉｎθの値の求め方を教えて下さい。

答えは√(305)/25です。
お願いします。

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

こんにちはです。

三平方の定理から、
AF^2 = AB^2 + AE^2 = 2^2 + 4^2 = 20
AF = √20 = 2√5
CF^2 = AD^2 + AE^2 = 3^2 + 4^2 = 25
CF = √25 = 5
Ac^2 = AB^2 + AD^2 = 2^2 + 3^2 = 13
AC = √13

余弦定理を使うと、
cosθ = (AF^2 + FC^2 - AC^2)/(2・AF・FC) = (20+25-13)/(2・2√5・5) = 32/(20√5)
=8/(5√5)
(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1だから
(sinθ)^2 = 1 - (cosθ)^2 = 1-(8/(5√5))^2 = 1-64/125 =61/125
sinθ = √(61/125) = √61/(5√5) = (√61×√5)/(5×√5×√5) = √305/25
　（なぜならば、0<θ<180°だから、sinθ>0）

お礼

丁寧な解説ありがとうございました！