四面体に内接する球の半径

質問

『ＡＢ＝１、ＡＤ＝２、ＡＥ＝３の直方体ＡＢＣＤ＝ＥＦＧＨがある。四面体Ｂ－ＡＦＣに内接する球の半径を求めよ』という問題がありました。三角形ＡＦＣの面積と頂点Ｂから三角形ＡＦＣに下ろした垂線の長さなどは求められたのですが、そこからの方針が全くわかりません。体積を求めてどうにかするのでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.1

noname#56760 · ベストアンサー

問題文にヒントがあります。それはなぜ四角柱ではなく、直方体なのかと言うことです。他の問題でも、三角形と書いてもよさそうなのに二等辺三角形と書かれていたり、実数と書いてもよさそうなのに整数と書かれていたりしますが、これらは暗に条件を使うこと意味しています。

今回は直方体とのことで、解法は直方体の性質を使います。
※直方体（ちょくほうたい）とは、すべての面が長方形あるいは長方形と正方形で構成される六面体で、その特徴から、隣接する面が直角に交わる立体図形のことをいう。

つまり直角だらけということです。と言うことは直交座標に嵌めることが出来ます。更に平面と球が接するとき、接点と球の中心を結ぶベクトルは平面に対して垂直です。

対称性を利用して四面体F-BEGでやってみます。
原点０をF、FGをｘ軸　FEをy軸　FBをｚ軸とします。
各点の座標はG(2,0,0) E(0,1,0) B(0,0,3)
内接球はｘ軸とｙ軸、ｙ軸とｚ軸、ｘ軸とｚ軸で出来る3枚の平面に接しますから球の中心Pは半径をｒとしてP（ｒ,ｒ,ｒ）となります。
あとは平面BEGとPとの距離がrになれば良いだけです。

お礼

返事が遅れてしまってすみません。
回答大変参考になりました。
ありがとうございます。

回答No.2

tarame

内接する球の中心をＯとすると、体積は
四面体BAFC＝四面体OABC＋四面体OAFC＋四面体OABF＋四面体OBCF
となります。
四面体の体積は、底面積×高さ÷３ですから……
球の半径をｒとすると、上記の式からｒが求まりますね。

お礼

回答ありがとうございます。
大変参考になりました。
返信遅れてしまってすみません。