積分３ 教えてください

質問

いつも初歩的な質問になってしまってすみません。

公式をみてもどれを使えばいいのかもわからないもので。。。

∫[6→4] (2+x+3x^2)ｄｘ

∫[∞→9] (1/x^1.5)ｄｘ

∫[3→1] {x√(2x^2+7)}ｄｘ

という問題があるのですがどう解いていけばいいのでしょうか？
誰かご説明いただけないでしょうか？

回答No.1

info22_

>∫[6→4] (2+x+3x^2) dx
この積分範囲の書き方は
[4→6]または[4,6]と書くべきと思います。
前が下限、後ろが上限
です。他の定積分の式の範囲でも同じです。

1つ目の積分は項別に積分すればいいです。項別積分なら出来るだろう。

2つ目
∫[9→∞] (1/x^1.5)dx=∫[9→∞] x^(-3/2)dx
=[-2/x^(1/2)](x→∞) -[-2/x^(1/2)](x→9)
=0+2/3
=2/3

3つ目
合成関数の積分公式を適用できるように変形して公式を使えば良い。

∫[1→3] {x√(2x^2+7)}dx
=(1/4)∫[1→3] (2x^2+7)'*(2x^2+7)^(1/2)dx
=(1/4){[(2/3)(2x^2+7)^(3/2)](x→3) -[(2/3)(2x^2+7)^(3/2)](x→1)}
=(1/4)(2/3){25^(3/2)-9^(3/2)}
=(1/6)(5^3-3^3)
=(1/6)(125-27)

あとは計算できるだろう。