正四面体

質問

「正四面体の頂点から底面に垂線を下ろすと、その垂線は底面である正三角形の重心を通る」は証明できるのですが、「正四面体の一つの面をＳとすると、面Ｓの重心と面Ｓに対する頂点を通る直線は、面Ｓに垂直に交わる」はどうやったら証明できるのでしょうか。
教えてください。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

正四面体をOABCとし，Oを原点として
A，B，Cの位置ベクトルをそれぞれa，b，cとする．
正四面体の一辺の長さを1として一般性を失わない．

このとき，ベクトルgをg=(a+b+c)/3とする．
このベクトルgが平面ABCと直交することを示せばよい．
つまり，
a-bとg，b-cとgの内積が0であることを示せばよい．

正四面体であることより
(a,b)=(b,c)=(c,a)=1/2
|a|=|b|=|c|=1
だから
(a-b,3g)=(a-b,a+b+c)=|a|^2+(a,b)+(a,c)-(b,a)-|b|^2-(b,c)
=0
(b-c,3g)=0も同様

お礼

回答ありがとうございます。
助かりました。

回答No.3

noname#189285

以前に回答した以下をご覧下さい。

http://questionbox.jp.msn.com/qa6327570.html

正四面体を真上から見た場合、頂点は上記回答の添付図の通りの位置となります。この位置が、三角形の重心と同じであれば、『正四面体の一つの面をＳとすると、面Ｓの重心と面Ｓに対する頂点を通る直線は、面Ｓに垂直に交わる』と言えます。

上記回答で記す通り、線AOを線BCまで伸ばしたらBCを等分します。他の二辺も同様です。従って、点O(真上から見た時の頂点)は真上から見た三角形の重心であると分かります。

以上から、、『正四面体の一つの面をＳとすると、面Ｓの重心と面Ｓに対する頂点を通る直線は、面Ｓに垂直に交わる』と言えます。

お礼

回答ありがとうございました。
感覚的に理解できてよかったです。

回答No.2

hugen

異なる二点を通る直線は、二本は無い。

お礼

確かにそうですね。
回答ありがとうございました。