√内の計算、正四面体体積比。

質問

こんにちは。
半径1の球Pに正四面体Qが内接している。このとき次の問いに答えよ。
ただし正四面体の頂点から底面の三角形に引いた垂線と底面の交点は、底面の三角形の外接円の中心であることは証明無しで用いてよい。
(1)正四面体Qの1辺の長さを求めよ
(2)球Pと正四面体Qの体積比を求めよ。

この問題でAH＝√AB＾2－BH＾2＝√a＾2－a＾2/3＝√6/3a
に何故なるのかわかりません。
これ以下はわかります。

それと、証明無しで用いてよいと書いていない場合もありますか？
その場合は証明しないといけませんよね。どう証明するのですか？
数式を並べるだけで日本語での説明がうまく書けないのですがこれは解答などと自分の解答を見比べ覚えていくしかありませんか？
よろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

AB^2 - BH^2 は a^2 - a^2/3 だから, a^2 でくくれば 1-1/3 = 2/3 が出てきますよ. んで √(2/3) は分子と分母に根号を分けて √2/√3 なんだけど, 分母に根号があるのが気に入らないので分子分母に √3 を掛ければ (√2・√3 = √6 なので) √6/3.

で証明を書くことについては, たぶん「なんとなくしかわかりません」というところが「日本語での説明がうまく書けない」理由にあるんじゃないかなぁ. 「証明する」というのは「他人に論理立てて説明する」ことだから, 自分の中であやふやだとうまく説明できなくてどうしてもあやふやになっちゃうし, 証明しようとしてもやっぱりあやふやなところが残っちゃう. 逆に, 方針をきちんと把握していれば文章にも自信が持てるし (簡潔かどうかはともかく) きちんと書けるようになるんじゃないかな.

「模範解答などと自分の解答を見比べ覚えていく」ということも書き方を覚えるとか慣れるとかという点ではいいんだけど, そこにある背景とか考え方も理解しないと「ただのコピー」にしかならないかもしれない. この問題だと... どこから証明していくかにもよるんだけど
・2点 B, C から等距離にある点の集合は線分BC を垂直に 2等分する面上にある
といっておいて,
・だから 3点B, C, D から等距離にある点の集合は外心H から垂直に立てた直線上にある
ことと
・正四面体だから A は B, C, D から等距離にある
ことから
・AH は B, C, D からなる平面に垂直
とでもするかなぁ.

お礼

どうもありがとうございました！おかげで解決できました。
証明のところもう一度よく読んでみます。
これからはそのことも意識して人に教えられるような理解を目指し頑張ります。
またどこかでお会いしましたらその時はまたよろしくお願いしますd(´ω｀*)

回答No.2

Tacosan

A から △BCD に下した垂線の足が H なんだから, AH と (△BCD を含む平面上の直線である) BH は直交する. だから, 三平方の定理から AH が計算できる.

AB = a, BH = (√3/3)a はいいんだよね. そこから先をもうちょっと細かく見ると
・AB^2 = a^2 とか BH^2 = a^2/3 がわからない
・AB^2 - BH^2 = 2a^2/3 が計算できない
・√(2/3) = √6/3 とできない
くらいが思いつくんだけど, このうちどれでしょうか?

あと「証明しなきゃならない場合」についてだけど, 「正四面体の頂点から底面の三角形に引いた垂線と底面の交点は、底面の三角形の外接円の中心である」という理由が (少なくともイメージとして) 理解できていますか?

補足

お返事ありがとうございます。計算と、√(2/3)?＝√6/3がよくわかりません。

うーん、こちらはなんとなくしかわかりません。。

回答No.1

Tacosan

A とか B とか H とかってなんでしょうか?

三平方の定理は知ってる?

補足

すみません、書き忘れました。
図を書いて球Pの中心をO,正四面体Qの頂点をA,B,C,DとしAから三角形BCDに垂線AHを引くんです。。

解答を略さないで書くと(1)Qの一辺の長さをaとおく。
条件よりBHは三角形BCDの外接円の半径であるから正弦定理により
BH＝a/2sin60°＝a/√3＝√3/3a(ここまでは理解できました。)
よってAH＝√AB＾2－BH＾2＝√a＾2－a＾2/3＝√6/3a
がわかりません。どう計算したら良いのですか？
計算力無さすぎて嫌になります。。

三平方の定理はしっています。それを利用していること、することもわかります。