正四面体

質問

正四面体O-ABCにおいてOから△ABCにおろした垂線の長さが６であるとき、この正四面体の１辺の長さは３√６である。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解説　　四面体の１辺の長さを１とおくと、高さは√６x/3=6　と書かれていますがこの高さ√６ｘ/3はどのように計算してでてきたのですか？

回答No.2

tomokoich · ベストアンサー

図を描いてみてください
Oから△ABCにおろした垂線の足をGとするとGは△ABCの重心になります
よって△ABCにおいて
AからGを通ってBCにおろした垂線の足をHとすると
四面体の１辺を1とおくのでAB=1
AH=ABsin60°=√3/2
Gは△ABCの重心なのでAG:GH=2:1
AG=(2/3)×AH
=(2/3)×(√3/2)
=√3/3

△OAHにおいて直角三角形なので三平方の定理を使って
高さOH^2=OA^2-AG^2
=1^2-(√3/3)^2
=1-3/9
=2/3
OH=√2/√3
=√6/3になります

これは１辺の長さを1として計算したものなので１辺をxとすると
高さ=(√6/3)x=6
なので
x=6×(3/√6)
=18/√6
=3√6

回答No.3

tomokoich

NO2です
AHを求めるところでsinを使わないなら（もし中学生なら）比で求めて下さい
△ABHは1:2:√3の直角三角形より（正三角形の半分なので）
AH:AB=√3:2
AH:1=√3:2
2AH=√3
AH=√3/2

回答No.1

root_16

1辺の長さが3√6だったのを1と置くわけだから、1/（3√6）の比になる。
なので、高さは、6/(3√6)＝（√6×√6）/（3√6）＝√6/3