正四面体の内接球
正四面体の内接球の中心は、外接球の中心でもある。
これが証明できません。どなたかベクトルとか使わない証明をご存知の方、教えてください。
逆の命題、「正四面体の外接球の中心は内接球の中心でもある」は以下のように示すことができると思います。
正四面体をABCD
外接球の中心をＯ
Ｏから面ABCに下ろした垂線の「足」をW
Ｏから面ABDに下ろした垂線の足をX
Ｏから面ACDに下ろした垂線の足をY
Ｏから面BCDに下ろした垂線の足をZ
外接球の半径をRとする。
（補題）外接球の中心から各面に下ろした垂線とその面との交点は面の重心である。
外接球であるから、OA=OB=OC=OD=R
面ABCを考える
△OWAと△OWBと△OWCで
OA=OB=OC （=R 外接球の半径）
OW=OW=OW （共通）
∠OWA = ∠OWB = ∠OWC = 90°（垂線だから）
斜辺ともう一つの辺が等しいので
△OWA≡△OWB≡△OWC
∴AW=BW=CW
Wは正三角形ABCの外心である。
正三角形において、外心と内心と重心は一致するから、Wは重心でもある。
他の3つの面も同様に考えられるから、X,Y,Zはそれぞれ重心となる。
（本題）
△OWAと△OYAを考えて、
AW=AY （合同な正三角形の重心と頂点との距離）
AO=AO （共通）
∠OWA = ∠OYA = 90°（垂線だから）
∴△OWA≡△OYA
∴OW=OY
同様に、OW=OX=OY=OZ
ゆえに、Oは内接球の中心である。
このとき、Oと各面との接点はW,X,Y,Zである。
逆は難しくてどうしてもわかりません。内接円の類推で、内接球の中心が二等分「面」上にあることを使うのだと思うのですが。
よろしくお願いします。
