正四面体の問題です

質問

正四面体と外接球の問題です。
正四面体の頂点から、底面の正三角形に向けて垂線を下ろした時、
この垂線が、外接球の中心を通るのは何故ですか？

よろしくお願いします。

回答No.1

chie65536（@chie65535） · ベストアンサー

正四面体の４つの頂点を、それぞれ「点A、B、C、D」とします。

底面の正三角形ABCの「３つの頂点」から等距離にある点を、点Pとします。

正四面体の残りの頂点Dと、点Pを結びます。

この時、∠DPA、∠DPB、∠DPCは、三平方の定理から「直角」になります。

つまり、線分DPは「底面の正三角形ABCの垂線」になります。

線分DP上の任意の点を点Qとした時、この点Qが点A、B、C、Dの４点と等距離にある場合、その点Qは「外接球の中心」です。

「線分DPは底面の正三角形ABCの垂線」であって「外接球の中心は線分DP上にある」のですから「正四面体の頂点から、底面の正三角形に向けて垂線を下ろした時、 この垂線が、外接球の中心を通る」ことになります。

お礼

よく読み返していた所、仰っている意味が解りました。
どうも有難うございました。

補足

・>「３つの頂点」から等距離にある点を、点Pとします。
この点は、何でしょうか？外心ですか？？
・>∠DPA、∠DPB、∠DPCは、三平方の定理から「直角」になります。
申し訳ありません。何故、直角三角形になるのか解りません。