素朴な質問

質問

いつも疑問に思ってたのですが、正四面体の頂点から垂線を
下ろすとなぜ三角形の重心のところにあたるのか不思議です。
誰か教えてください！

回答No.3

Quattro99 · ベストアンサー

正四面体の頂点をA、B、C、Dとして、頂点Aから三角形BCDに垂線をおろし、その交点をEとします。
そこで、△ABE、△ACE、△ADEを考えると、AEは共通、AB=AC=AD（正四面体だから）、∠AEB=∠AEC=∠AED=90°（垂線だから）で、2辺が等しい直角三角形ということになり合同になり、BE=CE=DEとなります。従って、△BCE、△CDE、△BDEは三辺が等しいので合同となり、Eは△BCDの重心となります。

お礼

なぜ合同だと重心になるのですか？

回答No.6

Musicful-hearts

ちょっと雰囲気がつかめないのですが…

正四面体A-BCDがあるとして、
AかたBCに垂直二等分線を降ろして、その足をEとする。
ΔAEDでAからEDに垂線を下ろし、その足をGとしたときに、
それぞれ長さを求めていくと、EG:GD=1:2になる。
ここで、正三角形において重心=内心=外心=垂心であることは自明なので、結果Aから底面BCDに下ろした垂線の足Gは底面BCDの重心になる。

回答No.5

ojisan7

直感的な説明でよいでしょうか？
正四面体を真上から見て下さい。真上から見ると、正三角形の３つの内角の２等分線の交点が真上にある頂点になっています。したがって、この点は正三角形の内心です。正三角形では内心、外心、垂心、重心は一致し、同一の点になりますね。

回答No.4

Quattro99

合同なのが重心の理由ではありませんでした。
それらの三角形はすべて二等辺三角形ですから、BCの垂直二等分線、CDの垂直二等分線、BDの垂直二等分線はすべてEを通ります。また、△BCDは正三角形ですから、BCの垂直二等分線はDを、CDの垂直二等分線はBを、BDの垂直二等分線はCを通ります。つまり、それらの垂直二等分線は中線ということになり、そのすべてがEを通るのですから、Eは重心です。

お礼

なるほどよくわかりました。回答有難うございます。

回答No.2

yanasawa

難しいことをいえばいえますが、やめます。

正四面体を水平な床に置き、真上から見ます。底面の正三角形以外の辺は同じ長さで、床とのなす角も等しいので、見え方も等しい長さに見えますね。つまり山のてっぺんから引いた線分が、正三角形を、合同な二等辺三角形に分けているように見えます。つまりつまり、てっぺんは正三角形の重心になっているように見えます。
したがって、てっぺんから底面に垂線を下ろすと、その足は重心にいきます。

回答No.1

BLUEPIXY

外接円の中心（外心）でもあるから