球に内接する正四面体

質問

正四面体の頂点から底面の三角形に引いた垂線と底面の交点は、底面の三角形の外接円の中心であることはわかるんですが、この垂線が球の中心を通っていることは証明可能ですか？？

回答No.1

debut · ベストアンサー

話は、正四面体の外接球ということでいいですか？

正四面体をＡＢＣ Ｄとし、△ＢＣ Ｄの重心(つまりは△ＢＣ Ｄの外接
円の中心ですが)をＧとします。また、ＡＧ上の点をＯとします。
△Ｏ ＧＢと△Ｏ ＧＣ において、
Ｏ Ｇは共通
∠Ｏ ＧＢ＝∠Ｏ ＧＣ（＝90°）
正三角形の中線は等しく、それを２：１に分けたときの線分の長さ
は等しいから、ＢＧ＝Ｃ Ｇ
この３つから、２組の辺とそのはさむ角がそれぞれ等しいので
△Ｏ ＧＢ≡△Ｏ ＧＣ
よって、対応する辺は等しいので、Ｏ Ｂ＝Ｏ Ｃ
同様に、Ｏ Ｂ＝Ｏ Ｄ
つまり、ＡＧ上の点は常に３つの頂点から等しい距離にあります。
で、ＡＢ,ＡＧ,ＢＧ,Ｂ Ｏの線分の長さの関係から、ＡＧ上にＯ Ａ
＝Ｏ Ｂとなる点Ｏ をとることができて、それが外接球の中心と
なります。
よって、外接球の中心は正四面体の頂点から底面に引いた垂線上に
ある。