この条件で証明できるのでしょうか？教えてください。

質問

a/b <= A/B , A <= a , B <= b の条件下で、
(a-c)/(b-d) <= (A-c)(B-d)　を証明したいと思うのですが、うまくできません。

証明方法もしくは、証明不可能ということを教えてください。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

＞(a-c)/(b-d) <= (A-c)(B-d)　を証明したいと思うのですが、

(a-c)/(b-d) <= (A-c)/(B-d)　ではなく？

どちらにしても、a=b=3、A=B=2、c=2、d=1が反例となります。

(3-2)/(3-1) > (2-2)(2-1)
(3-2)/(3-1) > (2-2)/(2-1)

お礼

(a-c)/(b-d) <= (A-c)/(B-d) でした。
条件がまだありましたが、、
0<=d<B
0<c<A
を追加しても、できなさそうですね。

ある証明の中で、この不等式が補足なく使われていたのですが、証明自体間違っているか、
自分が条件を取り逃しているかもしれません。

もう少し深く考えたいと思います。
回答ありがとうございました。

回答No.3

mnakauye

こんにちは。

問題は
a/b <= A/B , A <= a , B <= b および
0<=d<B
0<c<A

を満たす任意の数に対して、

(a-c)/(b-d) <= (A-c)/(B-d)

が成り立つかどうか。
ですね。

（結論から言えば成り立たないので、
　条件の書き方が間違っているのではないですか
　度の条件かの等号がついていないとか、
　すべて整数とか・・
　ないかが不足していると感じます。）

さて
証明すべき式について
右辺ー左辺を
考えると、
(A-c)/(B-d)-(a-c)/(b-d)
通分した後
= [(A-c)(b-d)-(a-c)(B-d)]/(b-d)(B-d)

この分母は、
0<=d<B<b　より正
したがって分子を考えますと、
(A-c)(b-d)-(a-c)(B-d)
を展開して
=Ab-aB-c(b-B)+d(a-A)

ここでAb-aB=bB(A/B-a/b)だから正
d(a-A)も正、
で　c>0 (b-B)>0 だから第二項は負で、
第一項と第３項の和よりも、絶対値が大きい例を考えられれば
反例となります。

反例は１つあげれば十分ですが、

別の回答者の例のように
第一項が０、第２第３項の括弧が同じ値ｍになるように設定すると
分子は
０-mc+mdとなりますから
条件を満たすようにｄよりも大きいｃを選ぶと
すべてが反例になります。

　ちなみに第一項が０になるものとして
第２項、第３項の（）内をmとして
a=A+m, b=Ｂ+m
とすると、
第一項が０ということから Ab=Ba になるのでここに上を代入すると
Ａ＝Ｂとなります。

　つまり
Ａ＝Ｂ、a=b=A+m, A>c>d となるものはすべて反例の一例となります。

　したがってこの不等式は成り立たないということになります。

お礼

条件ですが、確かにb B c d は整数のみでした。
しかし、それでも証明は無理そうです。

やはり元の証明自体の条件が間違っている可能性が高いようです。
自分だけでは、結論づけることができなかったのですが、
お二人の意見を聞くことで、一から考え直す踏ん切りがつきました。

ありがとうございました。

回答No.2

nag0720

0<=d<B
0<c<A
の条件を追加しても、
a=b=4、A=B=3、c=2、d=1とすれば成立しません。

(4-2)/(4-1) > (3-2)/(3-1)