証明の方法と考え方について

質問

今回は不等式の証明についての考え方なのですが、証明という単元についてどのように考えていったらよいのかがわからなくなってしまいました。
数式がたくさんつなぎ合わせられているのですがそれを言葉なしの文字だけで理解しなければならないというところに難しさを感じてしまいます。
何をどう組み合わせることによって結果が導き出されるのか、この数式が何を意味しているのか、参考書を読んでいても結果的にこれで本当に証明されているのだろうかがわからないです。

ａ＞ｂ、ｃ＞ｄのとき　　ａｃ＋ｂｄ＞ａｄ+ｂｃ　であることを証明せよ。　という問題。
参考書には
１、（ａｃ+bd)-(ad+ｂｃ）＝ａｃ－ａｄ+ｂｄ-ｂｃ
２、　　　　　　　　　　　=a（ｃ-ｄ）-ｂ（ｃ-ｄ）
３、　　　　　　　　　　　＝（ｃ-ｄ）（ａ－ｂ）
４、ａ－ｂ＞０、ｃ-ｄ＞０　であるから
５、（ｃ－ｄ）（ａ－ｂ）＞0・（ａ－ｂ）＝0
６、したがって、　ａｃ＋ｂｄ＞ａｄ＋ｂｃ　終

とあるのですが、５段目の数式がどんな意味があるのかがわからないです。

まず、証明しなさいという問題がだされたときみなさんはどのような思考回路で考え始めるのでしょうか。コツなどはありますか？
証明は暗記ですか？

教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#158987 · ベストアンサー

４、ａ－ｂ＞０、ｃ-ｄ＞０　であるから
５、（ｃ－ｄ）（ａ－ｂ）＞0・（ａ－ｂ）＝0

とあるのを、私なら

４、ａ－ｂ＞０、ｃ-ｄ＞０　であるから、正の数同士の積は正なので、
５、（ｃ－ｄ）（ａ－ｂ）＞0である。
とやっちゃいますけどね。

それはさておき、

質問文にある５段目
（ｃ－ｄ）（ａ－ｂ）＞0・（ａ－ｂ）＝0
にある(a-b)にかかっているゼロは、ｃ-ｄ＞０に起因するものだと思いますよ。
つまり、
（ｃ－ｄ）（ａ－ｂ）＞ （ｃ－ｄよりゼロのほうが小さいのでこの位置にゼロを置くことが可能。） ・（ａ－ｂ）＝0
ということです。
同様の考え方で、
４、ａ－ｂ＞０、ｃ-ｄ＞０　であるから
５、（ｃ－ｄ）（ａ－ｂ）＞（ｃ－ｄ）・0＝0
という書き方もできます。

＞まず、証明しなさいという問題がだされたときみなさんはどのような思考回路で考え始めるのでしょうか。コツなどはありますか？
＞証明は暗記ですか？

暗記では、なかなか太刀打ちできないでしょうね。
でも練習していくうちにある程度考え方のパターンみたいなものが自然に体に入ってくるように思います。
証明問題のコツは、
まず結論を決める（探す）です。
問題文に条件が書かれていると思いますのでそれがスタート地点になります。
そして結論はゴールです。
結論が決まれば、あとはスタートからゴールまでの道のりを論理的につないでいくだけです。

例としては、そうですね・・・中学の図形の証明問題なんか思い出してもらえばいいんじゃないでしょうか？
ある問題設定があって、
結論（たとえば２つの三角形が合同であるとか。場合によっては小問に「～が合同であることを証明せよ」なんてありますよね。）があって、
その間をどう埋めていくかってのは、典型的な証明問題ですよね。

問題集の解説を読むときも論理展開がどのように流れて結論に至っているかを考えれば
おのずと注目すべきポイントが見えてくると思います。

話が脱線しますが、
こういう考え方は他の分野にも生かされていると思います。
たとえば、法律の世界とか。
判決を先に決めて、その結論に至った理由付けを関連条文を引っ張り出して論じたりします。

お礼

回答ありがとうございます。
そうですよね。
でも、なかなかできないのです。
論理的ってなかなかむずかしいですよね。
私にとっては難しいです。
私にもできるようになるでしょうか。
聞きたかったこと、疑問に思っていたことがすべてわかったのでとてもうれしいです。ありがとうございます。
また数学の問題の質問をすると思うので、見かけたときはアドバイスしてください。
よろしくお願いします。