扇形の弧の長さを教えてください！

質問

こんにちは。
タイトルの通り、扇形の弧の長さについて、
求め方が分からないため質問させていただきました。

考えているのは、添付画像の赤く色がついている弧ABの長さです。

ここで、O点は扇形を描く原点、線分OBは扇形の半径であり、
線分ACは線分OBから線分OCの長さだけ平行移動した線です。

なお、図に示してはいませんが、OBに対するOAの角度は分かりません。

まとめますと、OCとOBの長さしか分かっていない状態で、
弧ABの長さは求められるのでしょうか？

また、よろしければ仮にOCの長さが4,5mm、OBの長さが54mmのとき、
ABの長さはいくらになるかお教えいただけると幸いです。

ご回答よろしくお願いします。

回答No.3

rnakamra · ベストアンサー

前提条件が足りない。∠BOCの大きさが書いていない。図を見ると直角みたいに見えるが何も書いてないのでわからない。数学として扱う場合、見たとおり直角と考える、などという考えることは期待しないように。
仕方が無いのでここでは∠BOC=90°であると仮定します。90°で無い場合は必要があれば補足に角度を示してください。

∠AOB=∠OACが成り立ちます。
sin∠OAC=OC/OA=OC/OB
∠OAC=∠AOB=arcsin(OC/OB)
となります。
よって
弧AB=OB*arcsin(OC/OB)
となります。さすがにこれは関数電卓または表計算ソフトもしくはgoogle電卓でも使わないと計算できない。

OB=54mm,OC=4.5mmのとき、弧AB=4.5052mmとなります。

お礼

確かに条件が足りていませんね…。申し訳ありませんでした。
ご指摘の通り、BOCの角度は90度です。
いい機会なのでしっかり三角関数について勉強しなおしたいと思います。
ご回答ありがとうございました！

回答No.2

DIooggooID

ＯＣ
────　＝　tanθ
　ＯＢ

　これから、∠ＯＢ　ＯＡ　が導きだされるので、　弧の長さも分かります。

お礼

しばらく使ってないうちに三角関数をすっかり忘れていました。
これを機にしっかり勉強しなおしたいと思います。
ご回答ありがとうございます。

回答No.1

nag0720

sin(∠AOB)=sin(∠OAC)=OC/OA=OC/OB
弧AB=OB×arcsin(OC/OB)

OC=4.5mm、OB=54mmの場合は、
弧AB=54×arcsin(4.5/54)≒4.505225mm

お礼

AOBとOACの角度が同じになる事をすっかり忘れていました。
中学生の勉強がすっとんでる自分が恥ずかしいです…。
しっかり勉強しなおしたいと思います。
ご回答ありがとうございました！