数学IIの範囲で・・・

質問

ご閲覧ありがとうございます。
早速ですが、

[問]2x^8-3をx^2-2x+1で割ったときの余りを求めよ。

この問題ですが、普通にわり算をすれば答えはでますし、積の微分(←数学IIIＣの範囲らしいので、よくわかりませんが・・・)でも求められるようです。

しかし、このほかにもっと簡単な解法をお分かりの方、優しいご回答お願い致します。

ちなみに答えは、16x-17になります(´・ω・｀)

宜しくお願い致します。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

x^2-2x+1=(x-1)^2なので
2x^8-3=Q(x)(x-1)^2 +a(x-1)+b…(1)
とおくと商Q(x)は６次の多項式になります。
R(x)=a(x-1)+b…(2) が求める余りになります。

(1)は恒等式なので任意のxについて成り立ちます。
x=1とおくと
-1=b…(3)
これを(1)に代入して
2x^8-3=Q(x)(x-1)^2 +a(x-1)-1
右辺の-1を左辺に移項すると(x-1)で因数分解できて
2(x^8 -1)=Q(x)(x-1)^2 +a(x-1)
2(x-1)(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=Q(x)(x-1)^2 +a(x-1)
これば恒等式なので両辺を(x-1)で割った次式も恒等式になる。
2(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=Q(x)(x-1) +a
恒等式なのでx=1とおいた式も成立するから
2*8=a ∴a=16…(4)
(3),(4)を余りの式(2)に代入すれば
R(x)=16(x-1)-1=16x-17
が得られます。

お礼

ご回答ありがとうございます(ｐ..`)

回答No.2

Tacosan

いろいろ考えた結果, 私も #1 のようにするのが実は一番簡単ではないかと思ったりします.
こんなこともできますが:
α は α^2 - 2α + 1 = 0 を満たすと仮定する. このとき α^2 = 2α - 1 より
α^4 = 4α^2 - 4α + 1 = 4α - 3, α^8 = 16α^2 - 24α + 9 = 8α - 7.
よって
2α^8 - 3 = 16α - 17 より求める余りは 16x-17.
とはいえ, これはなんとなく数学II を越えているような気もする.

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます(ｐ..`)