内積について

質問

どちらが正しいのでしょうか？
内積の定義で
（a*をaの複素共役だとします）

(a,b)=a*b
(u,n)=∫u*ndx
と書いた教科書があり

別の教科書では
(a,b)=ab*
(u,n)=∫un*dx
と定義してあるのです。

これはどちらがただしいのでしょうか？
複素数が入ると
a*b≠ab*なので、どちらかがちがいますよね？

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

共役複素数を互いに移し合う写像は、複素数体の同型写像になります。
平たく言えば、-i = j と置いて考えると、i が虚数単位なのだか、
j が虚数単位なのだか、区別する方法は無い　ということです。
i ≠ j であることは確実ですから、一連の考察の中で
i を虚数単位としたり、j を虚数単位としたり、ブレてはいけませんが、
一貫して用いる限りは、どちらを虚数単位と呼んでも問題ありません。

質問の二つの内積は、値が互いに共役複素数となっていますから、
議論全体で一貫して虚数単位を入れ替えてしまえば、
それぞれの内積を使った話は全く同じになります。
どちらの内積を使っているか(＝ どちらの複素数の世界で考えているか)
を最初に明示して、話を始める必要はありますが。

回答No.3

drdevil

多分，質問のレベルは正当性みたいなものでしょう．右と左とどちらが「正しい」のということだと思います．このような場合は目的を書けばすっきりするでしょう．
分かりやすいところで書けば，要するに (a,a)≧0 となるようにしたいのです．しかも (a,a)=0 となるのが a=0 の場合のみになるようにしたいのです．(a,a) が実数，しかも正の数になるよう目論めば，右側か左側の一方を共役にせざるを得ません．
双線形性を若干犠牲にしてまでも，こうすることで後々便利なことが発生するからです．ユニタリ行列に関する一連の話等．
だから右側なら右側，左側なら左側で，どちらでもいいから固定して共役に直すだけの話です．首尾一貫すればよいというのは他の方の回答通りです．

回答No.1

Tacosan

単に定義だけの問題なので, 「どちらが正しい」というものではなく, どちらの定義もあり得ます.
1つの文書で混在させているとしたらただのバカですが, 終始一貫して使っているのであれば問題ありません.

お礼

回答ありがとうございます。
ひとつつっこんだ質問しても良いでしょうか？
a*bとab*では値がちがってくるのですが、これは内積の
結果の値がちがうということになります。

これでもとくに支障というものはないのでしょうか？