関数の内積の定義について

質問

ちょっと、というかかなり変な質問で申しわけないのですが。

　私の持っているフーリエ解析の２つの参考書では区間 [a,b] で定義された区分的になめらかな関数 f(x)、g(x) の内積を、いきなり
　　　　　　 b
　　(f,g) = ∫ f(x)g(x) dx ・・・・・・・ (#1)
　　　　　　 a
で定義しています。ま、定義ですからいきなりでもいいのですが、できればなぜこの定義でいいのか知りたいところです。

　区間 [a,b] に n 個の点
　　a = x1,x2,x3, …… ,xn = b
を設け
　　f1 = f(x1), f2 = f(x2), …… , fn = f(xn)
　　f↑= (f1,f2, …… ,fn)
　　g1 = g(x1), g2 = g(x2), …… , fn = g(xn)
　　g↑= (g1,g2, …… ,gn)
という 2 つの n 次元のベクトル f↑、g↑を作ります。f↑と g↑の内積は

　　f↑・g↑ = f1g1 + f2g2 + …… + fngn ・・・・・・・ (#2)

となりますが、(#2) を n→∞としても (#1) に一致はしないものの、よい近似にはなると思います。

　で、(#1) が関数の内積の定義として妥当であろうということは納得できるのですが、ちょっと気になることがあります。
　(#2) は、x-y 直交座標では幅 0、高さ fngn の直線の '高さ' を足し合わせていることになります。
　(#1) も同じように考えたいのですが、(#1) は高さ f(x)g(x) の足し合わせ（の極限）ではなく、幅 dx、高さ f(x)g(x) の短冊の面積の足し合わせ（の極限）だと思いますので、ちょっとなあ・・・・？ という気もします。
　短冊を x-y 直交座標で視覚的に捉えることはあきらめて、f(x)g(x) を高さ f(x)g(x)、幅 1 の短冊とでも見なせばいいのでしょうか？

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

取り敢えず(#2)の方は、1/nとかかけておかないとn→∞としたときに容易に発散しそうですよね。実際例えばf(x)=g(x)=1, a = 0, b=1とすると(#2)の和はnなのだから、n→∞としたとき容易に発散する。
で、1/nを掛けて発散を抑えることを試みる。

さて、x_j = a + (b-a) * j / n とするとx_0 = a, ..., x_n = b となります（取り敢えず等分してみる）。
この時、 lim(n→∞) ( (1/n) * Σ[0≦j≦n-1] f(x_j)* g(x_j) ) (但しd = (b-a)/n)って高校数学でも出てきたと思いますが何でしたでしょうか。

お礼

ありがとうございました。
　信号処理の参考書では
　　　　　　　1 　b
　　(f,g) = ---- ∫ f(x)g(x) dx
　　　　　　 b-a a
となってますね。