三角不等式（2次関数との融合）について

質問

お世話になりますm(__)m

参考書の解答を読んでも理解できないので、どうぞよろしくお願いします。

問　Ｘの方程式　２sin二乗Ｘ－（２a＋１）sinＸ＋a＝０・・・(1)
　（ただし、a：定数、０°≦Ｘ≦１８０°）の相異なる実数解が
　　i)２個のとき　　ii)３個のとき　　iii)４個のとき
　における、それぞれの定数aの条件を求めよ

参考書の解答の前に・・・
まず、「２次関数なのに、なぜ解が３個や４個あるのかわからない」状態です。
半径１の半円でイメージするよう参考書に書いてありますが、できれば、２次関数
で解が３個や４個あるってどういうことかも分かると助かります。

参考書の解答（少し省略して書いています）

　　２sin二乗Ｘ－（２a＋１）sinＸ＋a＝０
　　（２sinＸ－１）（sinＸ－a)=０
　　sinＸ＝１／２またはa

☆☆☆ここまでは何とか分かります☆☆☆

　　ここでsinＸ＝１／２より、Ｙ＝１／２と考えれば、　　　← sinＸ＝Ｙ＝○○ということ？（Ｘ軸に平行）
　　Ｘ＝３０°、１５０°の解が確定する。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　i)(1)が相異なる実数解２実数解をもつとき
　　sinＸ＝aの解は、０かまたは異なる２つの実数解　　　　
　　をもってもＸ＝３０°と１５０°に一致する。
　　よって、Ｙ＝aが半円と共有点をもたないか、又は　　←すみません、半円の図は省略です
　　a＝１／２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　だからa＜０または１＜aまたは、a＝１／２　　　　　　　←解が２個の時・・・もう２個、解は決まっ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ているから「解はほかにはないんだよ」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　というスタンスでいいのでしょうか。

　　ii)(1)が相異なる３実数解をもつとき　　　　　　　　　　　　←２次関数の解はＸ軸との交点と覚えて
　　　sinＸ＝aの解が１つ存在するので、　　　　　　　　　　　　　いるので、どうやって３個できるのか
　　　a＝１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イメージできません。４個も同じ。
　　　このときＸの３つの異なる解は、３０°、９０°、１５０°

　　iii)(1)が相異なる４つの実数解をもつとき
　　　sinＸ＝aが、３０°、９０°、１５０°以外の異なる解を
　　　２つもつaの範囲は、
　　　０≦a＜１（ただし、a≠１／２）となる。

★★★なんとなく思うこと★★★
　　sinＸ＝aというのは、Ｘ軸と平行のＹ＝aの関数（？）が、半径１の半円があるとすると、
　　この半円との交点（＝解の数）と考えたらよいのでしょうか。
　　そうするとＹ＝２は、ii)とiii)のときは、２本あるということになりますね？
たすきがけで因数分解して出たのが「解」だという思い込みが強くて頭が混乱してい
　　ます。「そこで出た解の三角比の値が、この問題の解」なんですよね？

長くなって申し訳ありません。どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

回答No.2

ferien · ベストアンサー

問　Ｘの方程式　２sin二乗Ｘ－（２a＋１）sinＸ＋a＝０・・・(1)
　（ただし、a：定数、０°≦Ｘ≦１８０°）の相異なる実数解が
　　i)２個のとき　　ii)３個のとき　　iii)４個のとき
　における、それぞれの定数aの条件を求めよ

参考書の解答の前に・・・
>まず、「２次関数なのに、なぜ解が３個や４個あるのかわからない」状態です。
普通の２次関数は、グラフとｘ軸との交点で解の個数が決まるので、解は１個か２個です。

>半径１の半円でイメージするよう参考書に書いてありますが、できれば、２次関数
>で解が３個や４個あるってどういうことかも分かると助かります。
三角関数だから単位円を使って解を考えます。三角関数の２次の場合と考えればいいのではないかと思います。

０°≦Ｘ≦１８０°なので、０≦sinＸ≦１、sinＸ＝aだから、０≦ａ≦１

ここでsinＸ＝１／２より、Ｙ＝１／２と考えれば、　　　← sinＸ＝Ｙ＝○○ということ？（Ｘ軸に平行）
　　Ｘ＝３０°、１５０°の解が確定する。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

>　　i)(1)が相異なる実数解２実数解をもつとき
>　　sinＸ＝aの解は、０かは、
　　解の個数が０、解がないと言うこと。
　　ａが　０≦ａ≦１　の範囲にはないから。だから、Ｙ＝aが半円と共有点をもたない。
　　よって、a＜０または１＜a（０≦ａ≦１とは、反対の範囲です。）

>または異なる２つの実数解　　　　
>　　をもってもＸ＝３０°と１５０°に一致する。
>　　よって、Ｙ＝aが半円と共有点をもたないか、又は　　←すみません、半円の図は省略です
>　　a＝１／２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　だからa＜０または１＜aまたは、a＝１／２　　←解が２個の時・・・もう２個、解は決まっ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ているから「解はほかには>ないんだよ」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　というスタンスでいいので>しょうか。

その通りだと思います。

　　ii)(1)が相異なる３実数解をもつとき　　　　　　　　　　　　←２次関数の解はＸ軸との交点と覚えて
　　　sinＸ＝aの解が１つ存在するので、　　　　　　　　　　　　　いるので、どうやって３個できるのか
>　　　a＝１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イメージできません。>４個も同じ。
>　　　このときＸの３つの異なる解は、３０°、９０°、１５０°
単位円では、１番上のｙ＝１のところで１個の点と交わっています。
それがsinＸ＝a＝１のときで、解が１個。このとき、ｘ＝９０°
その他に求めてあった、ｓ＝３０°、１５０°　とあわせて３個

>　　iii)(1)が相異なる４つの実数解をもつとき
>　　　sinＸ＝aが、３０°、９０°、１５０°以外の異なる解を
>　　　２つもつaの範囲は、
>　　　０≦a＜１（ただし、a≠１／２）となる。

sinＸ＝aが単位円で２個の点と交わるのは、ａ＝１を除く、０≦a＜１のとき
ただし、a≠１／２にしないと、先に求めてあった解とだぶってしまい、４個にならなくなるので、
だから、０≦a＜１で、a≠１／２

もう既に理解されているとは思いますが、よろしくお願いします。

お礼

大変、丁寧なご説明をありがとうございました。またどうぞよろしくお願いしますm(__)m

回答No.1

f272

だいたいわかってるやん。

> sinＸ＝aというのは、Ｘ軸と平行のＹ＝aの関数（？）が、半径１の半円があるとすると、この半円との交点（＝解の数）と考えたらよいのでしょうか。

そういうことです。

> たすきがけで因数分解して出たのが「解」だという思い込みが強くて頭が混乱しています。「そこで出た解の三角比の値が、この問題の解」なんですよね？

そういうことです。

お礼

ご回答ありがとうございます。基礎的な数学の知識がないので、参考書の解答
を読んでも「こういうことかなぁ～(@_@。」と不安でして。
大変助かりました。