積分の問題です。a→∞ のとき，∫［1,a］(logx)/(x+1)^

質問

積分の問題です。a→∞ のとき，∫［1,a］(logx)/(x+1)^2dx　の値を求めよです。分母が(x+1)^3の場合の問題が次にあります。どなたかお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

∫[1,a］(logx)/(x+1)^2dx
=log(2)-((a+1)log(a+1)-alog(a))/(a+1)→log(2)(a→∞)

∫[1,a］(logx)/(x+1)^3dx
=(2log(2)-1)/4-((a^2+2a+1)log(a+1)+(-a^2-2a)log(a)-a-1)/(2a^2+4a+2)
→(2log(2)-1)/4 (a→∞)

お礼

ありがとうございました。極限、積分と一緒になっただけで難しいと思いこんでいましたが、私でも理解できました。本当にありがとうございました。

回答No.1

nag0720

∫(logx)/(x+1)^2dxは部分積分法で解けます。

∫(logx)/(x+1)^2dx
=∫(logx)’/(x+1)dx-(logx)/(x+1)
=∫1/(x(x+1))dx-(logx)/(x+1)
=∫(1/x-1/(x+1))dx-(logx)/(x+1)
=logx-log(x+1)-(logx)/(x+1)

∫［1,a］(logx)/(x+1)^2dx
=loga-log(a+1)-(loga)/(a+1)+log2
=log(a/(a+1))-(loga)/(a+1)+log2　→　log2

分母が(x+1)^3の場合も同じように部分積分法で解けるかも。