積分計算 ∫{-∞,∞} (x^2)/(coshλx) dx = (Δx)^2 について

質問

次の積分を求めよ。

∫{-∞,∞} (x^2)/(coshλx) dx = (Δx)^2

という問題なんですが、
複素積分を用いて解く場合、どういう経路を選択すればいいんでしょうか？
また留数定理を使う場合、分母が0になるx=π/2λが特異点で正しいのでしょうか？
あと右辺の(Δx)^2をどう扱えばいいのかも分かりません。
どなたか分かる方よろしくお願いいたしますm(__)m

また、

(√2π)/2λ ∫{-∞,∞} (p^2)/{cosh(π/2λ)} dp = (Δp)^2

の積分方法に関してもアドバイスを頂けるとありがたいです。

回答No.5

arrysthmia

補足:
No.2 に書いた経路の曲線部分は、
先の条件を満たす曲線で、
閉曲線が囲む領域の面積が定義可能
なものであれば、何でもよく。
曲線の具体的な式を与える必要はありません。

むしろ、曲線の式を明示しないほうが、
いかにも留数定理を使ったっぽい趣がでる。

回答No.4

arrysthmia

因みに、No.1 の積分経路は、
No.2 で a = -b の場合にあたりますから、
広義積分を条件収束で取り扱っており、
十分性を欠きます。

問題の積分の収束性が、別に示してあって、
値だけ求めるのであれば、あの経路でも構いません。

回答No.3

info22

#1です。
訂正です。

>n=1,3,5, ...
>に対する留数は
>-(n^2)i(π^2)/(4λ^3)
符号ですが+,-,+,-, ...　と変化しますので
[(-1)^{(n-1)/2}]*(n^2)i(π^2)/(4λ^3)
,n=1,3,5, ... (奇数)
となります。

なお、補足です。
> 特異点が虚軸上に無限に並びますので、N個目間での留数に対して
> R＞(2N-1)π/2のRe^(iθ),θ=0～πの積分路を補って、
> 単一閉路を作れば、
の積分路は 「-R～原点～R」＋「Re^(iθ),θ=0～π」の弓形の閉路でR→∞とします。

お礼

訂正＆補足ありがとうございました！
これからトライしてみます！

回答No.2

arrysthmia

積分経路は、
原点を含む実区間 [a,b] と、b から a までを虚軸と一回だけ交わって
結ぶ曲線を連結したもの
では、どうでしょう？
留数定理を使った後、
この曲線が囲む領域に含まれる
原点中心の半円を考え、
その半径→∞ の極限を求めればよい。

cosh(x) = (exp(x)+exp(-x))/2 = cos(x/i)
を見れば、
cosh は虚軸上に可算無限個の極を持つ
ことが判ります。
経路の極限をとるときに、
留数からなる無限級数の和を
求めることになりますね。

Δx は、出典の前後文脈を読む以外には
知りようがありませんが、
当て推量としては、左辺の √ を Δx と置く
…という意図じゃないかな。

後半の dp の積分は、
λ が定数なら、2 次関数の積分だから、発散。
λ が p の関数ならば、その関数を知らないと
計算のしようがありません。

お礼

ありがとうございました！
経路のアドバイスを参考に、チャレンジしてみたいと思います。
Δx，Δpはarrysthmiaさんのおっしゃるとおり左辺の√をとり、
Δx・Δp=（不確定性原理？）を計算してみよ、との題意がありました。
説明不足でもうしわけありませんでしたm(__)m

回答No.1

info22

>分母が0になるx=π/2λが特異点で正しいのでしょうか？
cosh(λx)=0を解けば出てくるでしょう。
x=nπi/(2λ),n=±1,±3,±5, ...
が特異点となります。
n=1,3,5, ...
に対する留数は
-(n^2)i(π^2)/(4λ^3)
となりますね。
特異点が虚軸上に無限に並びますので、N個目間での留数に対してR＞(2N-1)π/2のRe^(iθ),θ=0～πの積分路を補って、単一閉路を作れば、留数定理で積分を求め、N→∞に持っていくやり方になるかと思います。

後は自分でやって下さい。

お礼

確かにcosh(λx)=0を解くべきでした…
経路のアドバイスも参考にさせていただきます。
ありがとうございました！