多様体の問題です。

質問

多様体の問題です。
S^2={x∈R^3｜∥x∥=1}とする。
写像fを
f:S^2→R
f(x_1,x_2,x_3)=x_3
とする。
S^2の各点でのfの階数を求めよ。
という問題です。わかる方いましたら解法を教えていただけると幸いです。<(_ _)>

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

階数というのは、fの関数行列（ヤコビ行列）の階数のことでしょうか？もし、そうなら、次のようになります。以下、S^2を地球の表面になぞらえて、x3>0の部分を「北半球」、x3<0の部分を「南半球」、x3=0の部分を「赤道」などということにします。また、赤道を含む平面で地球を切断した断面（円盤）をD^2とします（D^2={(x1,x2,0)|x1^2+x2^2<1)}）。

（北半球について）

北半球からD^2への写像hを

　　h(x1,x2,x3)=(x1,x2)

で定義します。いわゆる正射影です。また、fとhの結合写像をgとします。hが北半球からD^2への可微分多様体としての同型写像ですから、北半球各点でのfの階数は、対応するD^2の点でのgの階数に一致します。

　　g(x1,x2)=(1-x1^2-x3^2)^(1/2)
　　gの関数行列=(∂g/∂x1, ∂g/∂x2 )
　　∂g/∂x1=x1・(1-x1^2-x3^2)^(-1/2)
　　∂g/∂x2=x2・(1-x1^2-x3^2)^(-1/2)

ですから、D^2内でのgの階数は

　　(0,0)で0
　　それ以外の点で1

となります。よって、北半球でのfの階数は、

　　北極で0
　　それ以外の点で1

です。

（地球全体で）

上と同じようなことを、南半球、西半球、東半球でやれば、地球全体をカバーできます。fの階数は、北極と南極で0、それ以外で1になります。

お礼

遅れて申し訳ありません。

お忙しい所いつもありがとうございます。
<(_ _)>