多様体の問題です

質問

C^r級写像f:M→Nにおいて
dim M =dim N =m
また任意のMの元pに対してrank(f,p)=n (階数:rank)が成り立つなら次の２つの条件が成立する事を示せ
(1)f(M)はNの開集合
(2)fが全単射のとき
f:M→f(M):C^r級微分同相

わかる方いましたらよろしくお願いいたします。<(_ _)>

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

(1)は成立しない。
M=N=R^2
f:R^2→R^2,p=(x,y)∈R^2→f(p)=f(x,y)=(x,0)
とすると
fはC^r級
dimM=dimN=m=2
(rank(f,p)の定義がrank(f,p)=dim(f(M))ならば)
p∈Mに対してrank(f,p)=n=1
f(p)=(a,0)∈f(M)=R×{0}
f(p)∈∀V開⊂R^2に対して
∃ε>0({q=(x,y)∈R^2;|q-f(p)|<ε}⊂V)
(a,ε/2)∈V∩{R^2-f(M)}≠φ
f(p)∈cl{R^2-f(M)}-{R^2-f(M)}≠φ
だから
R^2-f(M)は閉でないから
f(M)=R×{0}はN=R^2の開集合ではないから
(1)は成立しない。