こんにちは。
(1) g:R^2 →R^1をg(x,y)=xとすれば、gの連続性はやさしいです。また
h:R^1→R^1を
h(x)=x^2 とすれば、f=h＊g です。*は写像の合成を表します。
そこでポイントはh(x)=x^2の連続性です。
「微積」の教科書等にのっているので考えること。
因みに、g(x,y)=xがR^2の点(a,b)で連続なことは次のようにできます。
任意のε>0に対しδ>0をδ=εととれば、|x-a|≦√{(x-a)^2+(y-b)^2}なので
0<√{(x-a)^2+(y-b)^2}<δ とすれば、0<|x-a|<δ
となる。このとき|g(x,y)-g(a,b)|=|x-a|<δとなる。
δ=εだから、0<√{(x-a)^2+(y-b)^2}<δならば、|g(x,y)-g(a,b)|<ε
(なぜなら、δ=εとしたから）
これを参考にやってください。
◎ h(x)=x^2の連続性が調べてもわからなかったら
この回答に補足をつけてください。
(2) まず、
(-π／2,π／2) →R^1の同相は y=tanxで与えられる。
そこでh:(3,10)→(-π／2,π／2) の全単射が直線 y=ax+b
で、できるようにすればよい。x=3のとき、y=-π／2，
x=10のとき、y=-π／2となるようにa,bを決めよう。
決まったこの関数をh(x)とする。
よって、f=h*g:(3,10)→R^1を考えて、
f(x)=tan(h(x))を考えればよい。これはhomeomorphicになる。
(3) A={(x,y,z)|y^2+z^2=2}は、2次元(実）位相多様体になる。
それはAの定義でxは自由、よってxはR^1 全体を動く。
S={(y,z)|y^2+z^2=2}は yz平面では原点中心、半径√2の円
よって図形Ａはx軸を真ん中に含む無限に伸びた円筒形の表面である。
アンテナの同軸ケーブルみたいな感じ。
ゆえにAは次の直積集合と同相であるというか同じ。
A=R×S
故に円Sが1次元多様体であるのと同様に証明をすればよい。
R^2の開集合としては、B=R^1×(-√2,√2)を常にとればよい。
そこで、
Aの開近傍として、
U(+)={(x,y,z) |xはRに含まれ、y^2+z^2=2,y>0}
U(-)={(x,y,z) |xはRに含まれ、y^2+z^2=2,y<0}
V(+)={(x,y,z) |xはRに含まれ、y^2+z^2=2,z>0}
V(-)={(x,y,z) |xはRに含まれ、y^2+z^2=2,z<0}
の４つを考えると、U(+),U(-)，V(+)，V(-)はAの開集合であって、
Aはこの４つで覆われる。
そして、それぞれのところでの同相写像を
（ア）φ(+):U(+) → B=R^1×(-√2,√2) はφ(+)(x,y,z)=(x,z)
［ U(+)での局所座標が(x,z)である。］
（イ）φ(-):U(-) → B=R^1×(-√2,√2) はφ(-)(x,y,z)=(x,z)
（ウ) ψ(+):V(+) → B=R^1×(-√2,√2) はψ(+))(x,y,z)=(x,y)
（エ）ψ(-):V(-) → B=R^1×(-√2,√2) はψ(-))(x,y,z)=(x,y)
［注： V(-)での局所座標が(x,y)である。 ］
これらの写像、φ(+)，φ(-)、ψ(+),ψ(-)は確かに同相写像である。
よって、Aの座標近傍系として、
{(U(+),φ(+))，,(U(-),φ(-))，（V(+),ψ(+)），（V(-),ψ(-)）}がとれて、
Ａは２次元の(実)位相多様体になる。
注：実は解析多様体になる。たとえば、U(+)かつV(-)で
ψ(-)*φ(+)^(-1):φ(+)(U(+)かつV(-)) →ψ(-)(U(+)かつV(-)) は
ψ(-)*φ(+)^(-1)(x,z)=(x,-√(2-z^2)) の形になる。
（「かつ」の集合の記号がすぐでなかったので ）
お礼
返事遅くなって申し訳ございません。 こんなに丁寧に答えていただけるなんてとても驚いています！ もともと苦手意識もあるためか、頭の中にすっと入ってこないこともありましたが、何度も読んでいるととてもわかりやすく、理解できました。 本当になんとお礼を言っていいのかわかりません。 ありがとうございます☆