大学数学 トポロジーの様々な問題がわかりません

質問

たくさん質問させていただきますが、一つでもわかったら回等していただけると幸いです。

(1)f:R^2 → R^1, f(x,y) = x^2　は連続写像であることを示す。
　εーδを使うのはわかるのですが書き方がわかりません。

(2)R^1と(3,10)は同相である。

(3)A = {(x,y,z) y^2 + z^2 = 2}は位相多様体

わかる方いたらアドバイスお願いします。

回答No.1

kup3kup3 · ベストアンサー

こんにちは。
(1)　g:R^2 →R^1をg(x,y)=xとすれば、gの連続性はやさしいです。また
　h:R^1→R^1を
h(x)=x^2 とすれば、f=h＊g　です。*は写像の合成を表します。
そこでポイントはh(x)=x^2の連続性です。
「微積」の教科書等にのっているので考えること。
因みに、g(x,y)=xがR^2の点(a,b)で連続なことは次のようにできます。
任意のε>0に対しδ>0をδ=εととれば、|x-a|≦√{(x-a)^2+(y-b)^2}なので
0<√{(x-a)^2+(y-b)^2}<δ　とすれば、0<|x-a|<δ
となる。このとき|g(x,y)-g(a,b)|=|x-a|<δとなる。
δ=εだから、0<√{(x-a)^2+(y-b)^2}<δならば、|g(x,y)-g(a,b)|<ε
(なぜなら、δ=εとしたから）
これを参考にやってください。
◎　h(x)=x^2の連続性が調べてもわからなかったら
この回答に補足をつけてください。
(2)　まず、
(-π／2,π／2)　→R^1の同相は　y=tanxで与えられる。
そこでh:(3,10)→(-π／2,π／2)　の全単射が直線　y=ax+b
で、できるようにすればよい。x=3のとき、y=-π／2，
x=10のとき、y=-π／2となるようにa,bを決めよう。
決まったこの関数をh(x)とする。
よって、f=h*g:(3,10)→R^1を考えて、
f(x)=tan(h(x))を考えればよい。これはhomeomorphicになる。

(3)　A={(x,y,z)|y^2+z^2=2}は、2次元(実）位相多様体になる。
それはAの定義でxは自由、よってxはR^1　全体を動く。
S={(y,z)|y^2+z^2=2}は　yz平面では原点中心、半径√2の円
よって図形Ａはx軸を真ん中に含む無限に伸びた円筒形の表面である。
アンテナの同軸ケーブルみたいな感じ。
ゆえにAは次の直積集合と同相であるというか同じ。
A=R×S　
故に円Sが1次元多様体であるのと同様に証明をすればよい。
R^2の開集合としては、B=R^1×(-√2,√2)を常にとればよい。
そこで、
Aの開近傍として、
U(+)={(x,y,z) |xはRに含まれ、y^2+z^2=2,y>0}
U(-)={(x,y,z) |xはRに含まれ、y^2+z^2=2,y<0}
V(+)={(x,y,z) |xはRに含まれ、y^2+z^2=2,z>0}
V(-)={(x,y,z) |xはRに含まれ、y^2+z^2=2,z<0}
の４つを考えると、U(+),U(-)，V(+)，V(-)はAの開集合であって、
Aはこの４つで覆われる。
そして、それぞれのところでの同相写像を
（ア）φ(+):U(+)　→　B=R^1×(-√2,√2)　はφ(+)(x,y,z)=(x,z)
　　［　U(+)での局所座標が(x,z)である。］
（イ）φ(-):U(-)　→　B=R^1×(-√2,√2)　はφ(-)(x,y,z)=(x,z)
（ウ) ψ(+):V(+) →　B=R^1×(-√2,√2)　はψ(+))(x,y,z)=(x,y)
（エ）ψ(-):V(-) →　B=R^1×(-√2,√2)　はψ(-))(x,y,z)=(x,y)
　　　［注：　V(-)での局所座標が(x,y)である。　］

これらの写像、φ(+)，φ(-)、ψ(+),ψ(-)は確かに同相写像である。
よって、Aの座標近傍系として、
{(U(+),φ(+))，,(U(-),φ(-))，（V(+),ψ(+)），（V(-),ψ(-)）}がとれて、
Ａは２次元の(実)位相多様体になる。
注：実は解析多様体になる。たとえば、U(+)かつV(-)で

ψ(-)*φ(+)^(-1):φ(+)(U(+)かつV(-))　→ψ(-)(U(+)かつV(-))　は
ψ(-)*φ(+)^(-1)(x,z)=(x,-√(2-z^2))　の形になる。
（「かつ」の集合の記号がすぐでなかったので　）

回答No.2

kup3kup3

すみません。ちょっと間違いがありましたので訂正。
私の最初の回答で
(2)のところ、次のように訂正します。
また、インターネットで悪さをされたようなので
もう一回打ちます。
f:(-π／2,π／2)　→R^1の同相は　f(x)=tanxで与えられる。
そこでh:(3,10)→(-π／2,π／2)　の全単射が直線　y=ax+b
で、できるようにすればよい。x=3のとき、y=-π／2，
x=10のとき、y=＋π／2となるようにa,bを決めよう。
決まったこの関数をh(x)とする。
よって、f=g*h:(3,10)→R^1を考えて、
f(x)=g*h(x)=tan(h(x))を考えればよい。これはhomeomorphicになる。

◎または、直接に
f(x)=1/(10-x)－1/(x-3)と定義すると、
これが、f:(3,10)→R^1の位相同型写像を与えます。
f'(x)=1/{(10-x)^2}＋1/{(x-3)^2}>0 f(x)は(3,10)で単調増加です。
x　→　3+0のとき、f(x)→　－∞，　x　→　10-0のとき、f(x)→　＋∞　
となtりますのでグラフからf(x)=1/(10-x)－1/(x-3)は
(3,10)→R^1の全単射　連続写像を当てます。
f^(-1):R^1 → (3,10)は、yをR^1の元とすると、
y=0のとき、x=13/2　・・・(a)
y≠0のとき、2重根号√を含んだとき、
　x=13/2+1/(2y)×[√{(7y)^2+4}－2]
　　=13/2+(49y)/[2√{(7y)^2+4}]・・・(b)となります。
これが連続をy=0で言わねばならない。
y　→0のとき、(49y)/[2√{(7y)^2+4}]　→　0となり、。okですが
　計算が面倒です。
以上です。

お礼

返事遅くなって申し訳ございません。
こんなに丁寧に答えていただけるなんてとても驚いています！
もともと苦手意識もあるためか、頭の中にすっと入ってこないこともありましたが、何度も読んでいるととてもわかりやすく、理解できました。
本当になんとお礼を言っていいのかわかりません。
ありがとうございます☆