（ｘ＾４＋ｘ＋１）＾８＝ X＾４の係数をもとめよ・・・

質問

（ｘ＾４＋ｘ＋１）＾８＝　　　X＾４の係数をもとめよ・・・

　高校数学で、出てきた問題です。
　私の考えでは、　８C２　×　６C２　＝　４２０　となりました。

　・・・ただ、４２０の係数というのは、ありえない気がしました。
　なぜなら　問題の項は３つとも、その係数が１だからです。

　８C2　×　６C２　・・・　この考え方そのものが間違っているのか。
　それでは、どのように解けばよいのか・・・
　これを知りたいと思いました。

　どなたか・・よろしくお願いいたします！

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

x^4,x,1の掛け算で x^4を作るためには次の2つしかありません。
　　x^4を1回と　1を7回掛ける：　8C1=8
　　xを4回と　1を4回掛ける：　　8C4=70

　従って、答えはANo.1さんと同様に　7+80=78 になります。

　ちなみに、Maximaを使って　(x^4+x+1)^8 を展開すると次のようになり、x^4の係数が78であることが確認できます。

　　(x^4+x+1)^8 = x^32+8*x^29+8*x^28+28*x^26+56*x^25+28*x^24+56*x^23+168*x^22+168*x^21+126*x^20+
280*x^19+420*x^18+336*x^17+350*x^16+560*x^15+588*x^14+448*x^13+476*x^12+568*x^11+476*
x^10+336*x^9+309*x^8+288*x^7+196*x^6+112*x^5+78*x^4+56*x^3+28*x^2+8*x+1

回答No.1

nag0720

正しい計算式は、
８C１　＋　８C４　＝　７８

考え方は、（ｘ＾４＋ｘ＋１）＾８を
｛ｘ（ｘ＾３＋１）＋１｝＾８
とみなして、
｛ｘ（ｘ＾３＋１）｝＾ｋ
の中にｘ＾４の項が含まれるものだけを抜き出してみると、ｋ＝１とｋ＝４の場合だけです。

ｋ＝１の場合の係数は、８C１
ｋ＝４の場合の係数は、８C４

お礼

すみません。お礼が遅れてしまいましたが・・・・　
　大変助かりました！
　係数について不安だったのですが、それが解消いたしました！
　ご回答、どうもありがとうございました！