aは実数としてP(x)=x3+(a-1)x2-(a+2)x-6a+8と

質問

aは実数としてP(x)=x3+(a-1)x2-(a+2)x-6a+8とする。

x-3で割ったとき余りは20。
P(x)=0はaの値は関係なく
x=-2の解をもつ。
だから因数分解すると
P(x)=(x+2)｛x2+(a-3)x-3a+4｝となる。

また、P(x)=0の解がすべての実数となるaの値の範囲は
a≦-7またはa≧1である。

ここまでは問題が解けたのですが、このとき、異なる実数解の個数がちょうど2個となるようなaの値の求め方がわかりません。
どうか解説よろしくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

３次方程式の解が２つ以上の実数解をもつことは　３つの実数解をもち、そのうちの２つが重解となることと必要十分です。
　従って「異なる実数解の個数がちょうど2個となる」ためには、次のいずれかのケースが成立することになります。

(A)　R(x)≡x^2+(a-3)x-3a+4=0 が異なる２実解をもち、そのうちの１つの解は x=-2 であるケース
　　D>0, R(-2)=0
　∴(a<-7 または 1<a) かつ a=14/5
　∴a=14/5

(B)　R(x)=x^2+(a-3)x-3a+4=0 が重解をもち、その重解は x=-2 ではないケース
　　D=0, R(-2)≠0
　∴(a=-7 または a=1) かつ a≠14/5
　∴a=-7 または a=1

　以上から、求める条件は　a=-7,1,14/5 だということが分かります。

お礼

詳しい解説ありがとうございました！
しっかり理解することが出来ました。

回答No.3

OurSQL

>また、P(x)=0の解がすべての実数となるaの値の範囲は
>a≦-7またはa≧1である。

この部分は、日本語の書き間違いですか？
P ( x ) = 0 の解がすべての実数となることは、あり得ませんよ。

お礼

指摘の方ありがとうございます。

正確には、
方程式P(x)=0の解がすべて実数となるようなaの値の範囲は、a≦-7またはa≧1である。
と書いてありました。

回答No.1

alice_44

実係数３次方程式の解が実数解２個と虚数解１個になることは無いので、
実数解がちょうど２個ということは、重根１個と単根１個ということです。
解が全て実数となる条件に加えて、
P(x) = P'(x) = 0 が解を持つようにすればよい。
P(x) = P'(x) = 0 の解 x は、P(x) を P'(x) で割った１次式の根ですから、
それを a の式で表して、P'(x) = 0 へ代入すれば、a の方程式が得られます。

お礼

回答ありがとうございました！