実数解

質問

4＾(x)=(2＾(x＋1))＋aが異なる２つの実数解をもつようなaの範囲は□である。

という問題で
2＾x=Aとおいて
A＾2=A・2＋a
A＾2-2A-a=0

問題は2つの実数解をもつような
と書いてあるから
D≧0
から
(-2)＾2-4・(-a)>0
より
a>-1
になったのですがこんな範囲でよいのでしょうか？

回答No.3

hinebot · ベストアンサー

>>Xが2つの「正の」実数解を持つということは、この放物線とX軸との交点がともに正であるということです
>についてよくわかりません

X軸を式で表すと　Y=0 になります。（これはそういうものなので、ここを分からないと言われても説明できません。あしからず。）

2次方程式　X^2-2X-a=0　を　XY平面上のグラフで考えると
放物線　Y=X^2-2X-a　と Y=0(X軸)　との交点のX座標が方程式の解になります。
∵
交点は、Y=X^2-2X-a とY=0をともに満たす点ですから、
そのX座標は　X^2-2X-a=0 を満たします。

つまり、2次方程式の解と、交点のX座標は一致するわけです。
その解が２つとも正　ですから、交点のX座標も当然　正　です。

>(i)X=0のとき Y>0
>のとき
>Ｙ＝-aではないでしょうか？

そうですよ。
Y=-a >0 ということです。
-a だから　負とは限りません。

補足

Ｘ=0のとき Ｙ>0　　　(2)
がよくわかりません

Ｙ＝Ｘ＾2-2Ｘ-a　を図に書いたとき

x=1はわかりますが
Ｙの値はaの値がはっきりしていないので
Ｘ軸より上か下かわかりません。

そして、
a<0とどうしてわかるのかがよくわかりません

説明が通じましたか？

回答No.4

hinebot

>Ｙの値はaの値がはっきりしていないので
>Ｘ軸より上か下かわかりません。

そうですね。
だから、グラフのＹ切片（Ｙ軸との交点）が、Ｘ軸より上にないと、Ｘ軸と正（Ｙ軸より右側）で交わりません。

実際に、Ｙ切片の位置をいろいろ変えて、グラフを書いてみてください。

>a<0とどうしてわかるのかがよくわかりません

Y=X^2-2X-a の Xに X=0を代入しているだけです。
（X=0を代入するのは、Ｙ軸との交点を出したいからです）

回答No.2

hinebot

#1さんのおっしゃる通りですね。

では、
A^2-2A-a=0が2つの「正の」実数解を持つ範囲
をどうやって探すか？
これは、２次関数（放物線）を利用します。
Aでは分かりにくいかも…なので、Xに変えますね。
で、
Y=X^2-2X-a とおいて、XY平面上でこのグラフを考えましょう。
変形すると、
Y=(X-1)^2-a-1 =(X-1)^2-(a+1)
となるので、頂点の座標が(1,-(a+1))で下に凸な放物線であることが分かります。
Xが2つの「正の」実数解を持つということは、この放物線とX軸との交点がともに正であるということです。
実際にグラフを書けば理解できると思いますが、
(i)X=0のとき Y>0
(ii)放物線の軸は X>0 の範囲にある
がその条件になります。
ここで、軸は x=1 ですから既に(ii)の条件は満たしています。
よって、
(i)より、 0^2-2*0-a>0 ∴ a<0

これと判別式から出た条件　a>-1 を併せて
-1＜a＜0
が答えですね。

補足

>Xが2つの「正の」実数解を持つということは、この放物線とX軸との交点がともに正であるということです
についてよくわかりません

Ｄ＞０のとき
正の値ではないといけないから正といえるのですか？

(i)X=0のとき Y>0
のとき
Ｙ＝-aではないでしょうか？

回答No.1

himajin2005_RC4

自信はないけど・・・・

>D＞0　 ←書き間違いね
>から
>(-2)＾2-4・(-a)>0
により分かることは
(ほかの条件なく)
A^2-2A-a=0を満たすAは2つ存在する
です

が

A=2^x
では
Aが取らない値もあります。
A＞0でなければならないのです。

したがって
A^2-2A-a=0が2つの「正の」実数解を探さないと
解は出ないと思います