定数ｐに対して、x^3-3x-p=0の実数解の中で、最大なものと最小な

質問

定数ｐに対して、x^3-3x-p=0の実数解の中で、最大なものと最小なものとの積f(p)とする。
ｐがすべての実数を動くとき、f(p)の最小値を求めよ。

つぎのように考えましたが、文字が多くて、つながりがよくわからなくなり、自信がないので
まちがっているのではないかと思います。よろしくご指摘ください。
y=x^3-3xとy=pのグラフの交点がx^3-3x-p=0の解であることと、y=x^3-3xが
原点対称なグラフであることから、-2=<p=<0,解を小さいほうからα,β,γとするとα<0,0<β<γ。
解と係数の関係から、αγ=-3+β^2。・・(1)
また、α＋γ=-β,αγ=p/β　より、αとγが実数解より、判別式から、(4p)^(1/3)<β。・・(2)
(1)(2)より、-3+(4p)^(2/3)<αγ 。また、区間-2=<p=<0より、f(p)の最小値は－３。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

どうせ解と係数を使うなら。。。。
単なる、2次関数の問題に還元される。

少なくても2つの実数解を持つから、この方程式の実数解は3個である。
その3つの実数解をα、β、γとすると、解と係数から　α＋β＋γ＝0、αβ＋βγ＋γα＝-3、αβγ＝p　‥‥(1)
又、αとβとγは平等だから、α≧β≧γとしても一般性を失わない。
従って、3γ≦α＋β＋γ≦3α　→　α≧0、γ≦0　である。
β＝-(α＋γ)を　αβ＋βγ＋γα＝-3　に代入して整理すると、α＾2＋γ＾2＋αγ-3＝0　‥‥(2)となる。
α＋γ＝a、αγ＝bとすると、a＾2-4b≧0、(2)から、b＝a＾2-3　→　｜a｜≦2　‥‥(3)
しかし、αγ≦0　であるから、b≦0　→　｜a｜≦√3　‥‥(4)　結局は　｜a｜≦√3。

f(p)＝αγ＝b＝a＾2-3　であるから、｜a｜≦√3　の範囲で考えると最小値は　-3.
この時、(a、b)＝(0、-3)だから、(α、β、γ)＝(√3、0、-√3)。

お礼

回答ありがとうございます。
すっきりしていて、わかりやすい解答でした。
自分の解答のどこがわかりにくいのか、比較して考えました。
βをあっさりと消去すればよかったと反省しています。
あとは、方程式の式の形からグラフで考えればよいのかと
先入観があったのが、いけなかったと思いました。

回答No.5

naniwacchi

#2です。
返答が遅くなってすみません。

＞k^3+ 3k^2＝ p^2
＞の式がどうやってでてくるのかよくわかりませんでした。
前の質問の中で、
>>α+β+r=0,αβ+βr+rα=3,αβr=p
>>最小値より、αrの値を考えればよい。αr＝kとおくと、
>>３本の式から、k^3+3k^2-p^2=0　・・＊

と書かれていましたけど・・・、忘れてしまいました？＾＾
単純にβを消去するだけです。

あと、「実数解の個数」は pの値によって変わりますね。
「必ず 3つ」とは限らないので注意した方がよいです。
このあたりは、問題文での記述も含めて、前の質問を参照してもらった方がよいかもしれません。

回答No.4

mister_moonlight

もっと簡単にやるなら。。。。。ｗ

少なくても2つの実数解を持つから、この方程式の実数解は3個である。
その3つの実数解をα、β、γとすると、解と係数から　α＋β＋γ＝0、αβ＋βγ＋γα＝-3、αβγ＝p　
β＝-(α＋γ)を　αβ＋βγ＋γα＝-3　に代入して整理すると、α＾2＋γ＾2＋αγ-3＝0　となる。
これは、(α＋γ/2)＾2＋3γ＾2/4＝3　と変形できるから、α＋γ/2＝√3*cosθ、√3*γ/2＝√3*sinθ　(0≦θ＜2π)と置ける。→　α＝√3*cosθ-sinθ、γ＝2sinθ
よって、f(p)＝αγ＝√3*sin2θ＋cos2θ-1＝2sin(θ-π/6)-1≧-3　つまり、最小値は－3。
この時、sin(θ-π/6)＝-1から　θ＝5π/3　→　sin(5π/3)＝-√3/2、cos(5π/3)＝1/2　だから、(α、β、γ)＝(√3、0、-√3)。

回答No.3

Mr_Holland

＞解と係数の関係から、αγ=-3+β^2。・・(1)

　ここまで置けたらもう答えられたようなものではありませんか。
　「解を小さいほうからα,β,γ」としていますので　f(p)=αγ　と書けます。
　　∴f(p)=-3+β^2　≧-3

　従って、β=0となることがあれば -3 がf(p)の最小値となり、その最小値を実現するのはβ=0のときにみ。
　【f(p)の最小値が-3となるための必要条件】

　さて、p=0 のとき与えられた方程式は　x^3-3x=0 となり、その解は
　　α=-√3, β=0, γ=√3
で　p=0のとき　β=0　となります。
　【f(p)の最小値が-3となる十分条件の確認】

　従って、f(p)は　p=0 のとき最小値 -3 をとることが言えます。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

見たことがあると思ったら、過去に質問されていた続きですね。
http://okwave.jp/qa/q6153683.html

確かにいろいろと文字を置いていくので、ややこしいですね。
細かいところは、過去の質問も含め、計算はいいと思います。
ですので、「話の筋」を以下に。

(1) 原点に対称であることを利用して、f(p)が最小となる pの範囲（候補）を絞り込みます。
確か、この問題には「実数解が1つのときはそれを２乗する。」という記述もありましたよね。
このことも利用すると、正確には -2≦ p≦ 2の範囲として絞り込まれます。

(2) 3つの解をα, β, γとおき、さらにα≦β≦γとします。
こうすると、f(p)＝αγと表されます。

(3) 解と係数の関係から、pと f(p)（f(p)＝ kとおいて）の関係を求めます。
k^3+ 3k^2＝ p^2
ここへ (1)から 0≦ p^2≦ 4であることと組み合わせて、0≦ k^3+ 3k^2≦ 4となる kの最小値を求めます。
この解法のときは、y＝ k^3+ 3K^2のグラフを描いた方がよいと思います。

＞また、α＋γ=-β,αγ=p/β　より、αとγが実数解より、判別式から、(4p)^(1/3)<β。・・(2)
言いたいことはわかりますが、記述としては物足りないです。
3次方程式の解と係数の関係より、α+γ＝ -β、αγ＝ p/βである。
α、γは実数であり、tの 2次方程式 t^2+ βt+ p/β＝ 0の実数解としても与えることができる。
この 2次方程式が実数解をもつ条件は、判別式：D＝ β^2- 4p/β≧ 0

もとの 3次方程式と α,γを解にもつ 2次方程式をきちんと区別しておかないといけません。
書くのは面倒かもしれませんが、どちらの「解と係数の関係」を考えているのかがわかるようにしておきましょう。

お礼

回答ありがとうございます。
自分の解答はいろいろな関係式がでてくるので、
途中で解答が十分なのかどうかが、わからなくなります。
つまり求めた答えが、必要十分なのかがわからなくなる
ような解答になってしまいます。
回答の中の(3) 解と係数の関係から、pと f(p)（f(p)＝ kとおいて）の関係を求めます。
k^3+ 3k^2＝ p^2
の式がどうやってでてくるのかよくわかりませんでした。
教えてもらえればありがたいです。