お願いします!(>_<)【高２数学】

質問

a>２とするとき、
　　　　xの３次方程式２x3-３(a+２)+１２ax=0
　が異なる３つの実数解をもつとき、aの値の範囲を求めよ。

　という問題なのですが、この関数をf(x)とおいて極大値と極小値をもとめることはわかるのですが計算がうまくいきません。
　計算の過程を教えて下さい。提出明日なので必死です（解けない自分が悪いんだけどf-_-;）

※ちなみにちっちゃい数字は指数です。

回答No.2

ONEONE · ベストアンサー

＞xの３次方程式２x3-３(a+２)+１２ax=0

2x^3-3(a+2)x^2+12ax=0
ですか？
これでよいとしたら
x{2x^2-3(a+2)x+12a}=0
{}の中が二つの異なる実数解を持つことが条件だから
2x^2-3(a+2)x+12a＝0において
<判別式>=9(a+2)^2-96a＞0
(3a-2)(a-6)＞0
∴a＜2/3、6＜a

2x^3+12ax-3(a+2)=0ならば・・・うーん

回答No.7

es32

＞　a>２とするとき、
＞　xの３次方程式２x3-３(a+２)+１２ax=0
＞　が異なる３つの実数解をもつとき、aの値の範囲を求めよ。

ｆ'(x)=6x^2+12a
よってa＜0
a＞2なので解なし

お礼

失礼かもしれませんがここでみなさんにお礼を言わせていただきます。本っっ当に助かりましたありがとうございます！！！！とても感謝してます。

回答No.6

fushigichan

ark_rayさん、＃５です。

すみません、
＞a>２とするとき、

この条件がありましたね。
ということは、a≠0でないばかりか、

a<2/3,6<aと求めたうちの
a<2/3は自動的に省いてよいことになりますね。

＃５の回答のあとに、
a>2より、a<2/3は不適、よって、6<a

としておいてください。
また、極大・極小から求める場合は、

f(x)=2x^3-3(a+2)x^2+12a
とおいてみて、＃４さんのようにまず微分しますね。
f'(x)=6x^2-6(a+2)x+12a
=6(x^2-(a+2)x+2a)
=6(x-a)(x-2)

ここで、a≠2でないとおかしくなりますが、最初の条件から
a>2ですから、増減表を書くときには、
2<aで書けばいいことになりますね。

x　　・・・・　２　・・・　・　a・・・
------------------------------------------
f'(x)　＋　　　０　　　－　　　０　　＋
------------------------------------------
f(x)　　　　　f(2)　　　　　　f(a)
　　　　　　極大　　　　　　　極小

のようになりますよね。
３つの異なる実数解を持つためには、
（極大値）＞０
（極小値）＜０
とならなければならないです。

極小値＝f(a)=2a^3-3(a+2)a^2+12a^2
=2a^2-3a^3+6a^2
=a^2(6-a)
ここで、a^2>0(なぜならa>2)
なので、6-a<0すなわち、6<aとなる。

極大値＝f(2)=16-12(a+2)+24a
=12a-8
=4(3a-2)>0
よって、a>2/3
ところが、a>2であるから、これはいつでも成り立つ。

よって、6<a
と求められると思います。

増減表とグラフから考えても、判別式から考えても
どちらでもいいと思います。

回答No.5

fushigichan

ark_rayさん、こんにちは。
明日提出ということなので、間に合うでしょうか・・？

＞xの３次方程式２x3-３(a+２)+１２ax=0

これ、降べきの順に書かれているとすると
2x^3-3(a+2)x^2+12a=0
としていいかと思われます。
＃２ONEONEさんの回答どおりに因数分解して、

2x^3-3(a+2)x^2+12a=x{2x^2-3(a+2)x+12a}=0

ここで、上の解の一つは、x=0であるとすぐわかります。
異なる３つの実数解をもつ、ということから
2x^2-3(a+2)x+12a=0
のほうは、０以外の２実数解を持てばよいことになります。

2x^2-3(a+2)x+12a=0
が、x=0を解に持つのは、a=0のときですから
条件として、a≠0が出てきます。
あとは、２つの異なる実数解を持つ、ということなので
判別式を取れば、正になるということから

D=9(a+2)^2-4*2*12a
=9(a^2+4a+4)-96a
=9a^2-60a+36
=3(3a^2-20a+12)

３　　　－２　　－２
１　　　－６　　－１８
----------------------
　　　　　　　　－２０

となるので、
3(3a-2)(a-6)>0
これを解いて、

a<2/3,6<aただし、a≠0
となると思います。

２x3-３(a+２)+１２ax=0
　　　　↑
ここが定数項だとすると、簡単に因数分解できそうにないですね・・
ご参考になればうれしいです。間に合うといいな。

回答No.4

YHS-8

No.2のONEONEさん同様2x^3-3(a+2)x^2+12ax=0ならこの解きかたでできると思いますけど・・・
答えも合ってるか不安です。
異なる3つの実数解をもつから、極大値＞0、極小値＜0とする。（簡単に図に書いてみる）
ｆ(x)=2x^3-3(a+2)x^2+12ax=0
ｆ'(x)=6x^2-6(a+2)x+12a
6(x-2)(x-a)=0　∴x=2,a
問題より、a＞2　―(1)なので、x=2で極大x=aで極小となる。
（増減表を書くとわかりやすいと思います。）
f(2)=12a-8＞0 ∴a＞2/3　―(2)
f(a)=-a^3＋6a^2＜0
f'(a)=-3a^2＋12a
↑グラフを書いてみる。
すると、-a^3＋6a^2が0以下（f(a)＞0）になる範囲がわかり、
a＞6　―(3)
(1)、(2)、(3)よりa＞6

回答No.3

myname257

f(x)=2x3-3(a+2)+2ax
f'(x)=2x(3x+a)=0として
x=0,-1/3a より
f(0)*f(-1/3a)<0 となればよい。

(-3a-6)*(-2/27a3+2a(-1/3a)-3a-6)<0
(a+2)(2a3+18a3+81a+162)<0

・・・う～む、右の()の３次式が解けない・・・
他の方よろしく（汗

夏課題ですか？もっと早めにやっといた方が・・・

回答No.1

majoruma

異なる三つの実数解をもつということは、
グラフを書いてみると、
ｘ軸と三点で交わるということですから、
極大値と極小値は、お互いに符号が逆になるはずです。
ということは、
極大値と極小値をかけたものが、
負になるようなaの範囲を求めればよい
。。。と思います。参考にしてください。