差分方程式の質問です。

質問

差分方程式の質問です。
よろしくお願いします。

Xn+1=1/2Xn＋2(1/2)n-1乗

この問題が解けなくて困っています。

助けてください(;-;)

回答No.2

info22_

>Xn+1=1/2Xn＋2(1/2)n-1乗

添え字を[]をつけて書くと

X[n+1]=(1/2)X[n]+2(1/2)^(n+1)

でいいでしょうか？

そうであれば

この解はCを任意定数として

X[n]=(C+4n)*2^(1-n)

となるかと思います。

レポート等の課題であれば、講義ノートや教科書等をちゃんと復習しなおして自力で解けるようにして下さい。

回答No.1

R_Earl

べき乗を^の記号で表わす事にし(例えば2の5乗は2^5)、
数列をX[n]と書く事にします

a[n+1] = ka[n] + ～ (kは定数)
の形をしている漸化式では、両辺をk^(n+1)で割ると
等差数列や階差数列の漸化式を作ることができ、
解けるようになる事があります。
今回の問題はk = 1/2の場合なので、
両辺を(1/2)^(n+1)で割る(つまり2^(n+1)をかける)と良いです。

実際にやってます。
両辺に2^(n+1)をかけると
{2^(n+1)}X[n+1] = (2^n)X[n] + 2{(1/2)^(n-1)}{2^(n+1)}
となり、
(2^n)X[n] = Y[n]とおき直してあげると
(この時{2^(n+1)}X[n+1] = Y[n+1]となります)、

{2^(n+1)}X[n+1] = (2^n)X[n] + 2{(1/2)^(n-1)}{2^(n+1)}
↓
Y[n+1] = Y[n] + 2{(1/2)^(n-1)}{2^(n+1)}

となります。
2{(1/2)^(n-1)}{2^(n+1)}は整理してあげると定数になるので、

Y[n+1] = Y[n] + 2{(1/2)^(n-1)}{2^(n+1)}
↓
Y[n+1] = Y[n] + (定数)

となります。
この漸化式は等差数列の漸化式ですよね。
ここからY[n]の一般項を求めましょう。

Y[n]の一般項が求まれば、
(2^n)X[n] = Y[n]の関係式からX[n]が求まりますよね。