差分方程式

質問

Yn+2 -3Yn+1 +2Yn =2^n, Y0=0,Y1=1, (n:非負整数）
という差分方程式は解けるのでしょうか？解こうとしても上手くいきませんのでお願いします。

回答No.2

guuman · ベストアンサー

定係数線形差分方程式は一般的に解くことができます

Y[n+2]-3・Y[n+1]+2・Yn=2^n,Y[0]=0,Y[1]=1(n:非負整数）

（１）
特性方程式の根を求める
特性方程式は斉次方程式にY[n]=s^nとすれば求まる
s^2-3・s+2=0
根はs=2,1
これにより斉次方程式の一般解は
Y[n]=A・2^n+B・1^n

（２）
非斉次の特解を求める
Y[n]=n・2^(n-1)
が特解である

よって非斉次の一般解は
Y[n]=A・2^n+B+n・2^(n-1)

回答No.1

kasabian

答えまで書いてしまっていいのかわかりませんので、最初のとっかかりの部分だけ、ヒントを差し上げます。

Yn+2 -3Yn+1 +2Yn =2^n
Yn+2 -2Yn+1 -Yn+1 +2Yn =2^n
(Yn+2 -2Yn+1) -(Yn+1 -2Yn) =2^n
ここで、Xn =Yn+1 -2Yn とおくと、
Xn+1 -Xn =2^n，X0 =Y1 -2Y0 =1
これならXnが求められますよね。
Xnを求めたら、Xn =Yn+1 -2YnからYnを求めましょう。
これで解けませんか？