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差分法
単振動の運動方程式 x"+x＝0 を差分法で解こうと思っています。 おそらく差分方程式は、 (x[n+1]-2x[n]+u[n-1])/dt^2=u[n] で良いと思われるのですが（違ってたら指摘してください）、初期条件 x(t=0)=aとx'(t=0)=b の与え方が良く分かりません。 また、sin(ωt)の強制振動を与えたときの差分方程式はどのようになるのでしょうか？ よろしくお願いします。
- alha
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そもそもこの方程式の解はは振動するものであってもう少しで発散するものです 近似式が発散しないようにするためにはｈをかなり小さくしなければなりません そのとき発散のスピードは（１＋ｈ＾２）＾（ｎ／２）です この値が１に比べてあまり大きくないとみなすことができるｎの範囲が近似の結果が意味をなすｎの範囲です より大きなｎにおける近似結果を利用する場合にはそれに応じてｈを小さくしなければなりません 元の式が安定と不安定の間になくて安定であればこのような不都合はありません 一応更正版を出しますが勿論式は保証できません （ｘ［ｎ＋２］－２・ｘ［ｎ＋１］＋ｘ［ｎ］）／ｈ＾２＋ｘ［ｎ］＝ｕ［ｎ］ すなわち ｘ［ｎ＋２］＝２・ｘ［ｎ＋１］－（ｈ＾２＋１）・ｘ［ｎ］＋ｈ＾２・ｕ［ｎ］・・・（＊） を初期条件 ｘ［０］＝ａ と （ｘ［１］－ｘ［０］）／ｈ＝ｂすなわちｘ［１］＝ｂ・ｈ＋ｘ［０］ のもとで解くわけだから 初期条件により ｘ［０］＝ａ と ｘ［１］＝ｂ・ｈ＋ａ が分かる （＊）においてｎ＝０として ｘ［２］＝２・ｘ［１］－（ｈ＾２＋１）・ｘ［０］＋ｈ＾２・ｕ［０］ は既に求まっているｘ［０］とｘ［１］から求まる （＊）においてｎ＝１として ｘ［３］＝２・ｘ［２］－（ｈ＾２＋１）・ｘ［１］＋ｈ＾２・ｕ［１］ は既に求まっているｘ［１］とｘ［２］から求まる （＊）においてｎ＝２として ｘ［４］＝２・ｘ［３］－（ｈ＾２＋１）・ｘ［２］＋ｈ＾２・ｕ［２］ は既に求まっているｘ［２］とｘ［３］から求まる （＊）においてｎ＝３として ｘ［５］＝２・ｘ［４］－（ｈ＾２＋１）・ｘ［３］＋ｈ＾２・ｕ［３］ は既に求まっているｘ［３］とｘ［４］から求まる （＊）においてｎ＝４として ｘ［６］＝２・ｘ［５］－（ｈ＾２＋１）・ｘ［４］＋ｈ＾２・ｕ［４］ は既に求まっているｘ［４］とｘ［５］から求まる ・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｕ［ｎ］＝０（ｎ＝０，１，２，３，・・・）とすれば最初の問題が ｕ［ｎ］＝ｓｉｎ（ω・ｈ・ｎ） （ｎ＝０，１，２，３，・・・）とすれば後の問題が求まる
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- nubou
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前回答に間違いが少なくとも一箇所あります 管理者に怒られるので指摘できません 補足で指摘してください
補足
ご回答ありがとうございます。 間違えというのはおそらく、 (x[n+1]-x[n]+x[n-1])/h^2+x[n]=0が (x[n+1]-2x[n]+x[n-1])/h^2+x[n]=0 ですよね？ 上の二つの場合で計算してみましたが、どちらも共振してしまいます。 なぜでしょうか？ 何度もすみませんがよろしくお願いします。
- nubou
- ベストアンサー率22% (116/506)
（ｘ［ｎ＋２］－ｘ［ｎ＋１］＋ｘ［ｎ］）／ｈ＾２＋ｘ［ｎ］＝ｕ［ｎ］ すなわち ｘ［ｎ＋２］＝ｘ［ｎ＋１］－（ｈ＾２＋１）・ｘ［ｎ］＋ｈ＾２・ｕ［ｎ］・・・（＊） を ｘ［０］＝ａ （ｘ［１］－ｘ［０］）／ｈ＝ｂすなわちｘ［１］＝ｂ・ｈ＋ｘ［０］ のもとで解くわけだから ｘ［０］＝ａ ｘ［１］＝ｂ・ｈ＋ａ （＊）においてｎ＝０として ｘ［２］＝ｘ［１］－（ｈ＾２＋１）・ｘ［０］＋ｈ＾２・ｕ［０］ ＝ｂ／ｈ＋ａ－（ｈ＾２＋１）・ａ＋ｈ＾２・ｕ［０］ （＊）においてｎ＝１として ｘ［３］＝ｘ［２］－（ｈ＾２＋１）・ｘ［１］＋ｈ＾２・ｕ［１］ （＊）においてｎ＝２として ｘ［４］＝ｘ［３］－（ｈ＾２＋１）・ｘ［２］＋ｈ＾２・ｕ［２］ （＊）においてｎ＝３として ｘ［５］＝ｘ［４］－（ｈ＾２＋１）・ｘ［３］＋ｈ＾２・ｕ［３］ （＊）においてｎ＝４として ｘ［６］＝ｘ［５］－（ｈ＾２＋１）・ｘ［４］＋ｈ＾２・ｕ［４］ ・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｕ［ｎ］＝０（ｎ＝０，１，２，３，・・・）とすれば最初の問題が ｕ［ｎ］＝ｓｉｎ（ω・ｈ・ｎ） （ｎ＝０，１，２，３，・・・）とすれば後の問題が求まる なお式は保証できませんので自分で確かめてください 「自身あり」は考え方だけですので悪しからず
- nubou
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（ｘ［ｎ＋２］－ｘ［ｎ＋１］＋ｘ［ｎ］）／ｈ＾２＋ｘ［ｎ］＝ｕ［ｎ］ すなわち ｘ［ｎ＋２］＝ｘ［ｎ＋１］－（ｈ＾２＋１）・ｘ［ｎ］＋ｈ＾２・ｕ［ｎ］・・・（＊） を ｘ［０］＝ａ （ｘ［１］－ｘ［０］）／ｈ＝ｂすなわちｘ［１］＝ｂ・ｈ＋ｘ［０］ のもとで解くわけだから ｘ［０］＝ａ ｘ［１］＝ｂ／ｈ＋ａ （＊）においてｎ＝０として ｘ［２］＝ｘ［１］－（ｈ＾２＋１）・ｘ［０］＋ｈ＾２・ｕ［０］ ＝ｂ／ｈ＋ａ－（ｈ＾２＋１）・ａ＋ｈ＾２・ｕ［０］ 以下ｎ＝１，２，３，４，・・・とすればすべての０以上の整数ｎについて ｘ［ｎ］がもとまる ｕ［ｎ］＝０（ｎ＝０，１，２，３，・・・）とすれば最初の問題が ｕ［ｎ］＝ｓｉｎ（ω・ｈ・ｎ） （ｎ＝０，１，２，３，・・・）とすれば後の問題が求まる なお式は保証できませんので自分で確かめてください 「自身あり」は考え方だけですので悪しからず
- nubou
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ｘ（ｔ）→ｘ［ｎ］ ｘ’（ｔ）→ｘ１［ｎ］＝（ｘ［ｎ＋１］－ｘ［ｎ］）／ｈ ｘ”（ｔ）→ｘ２［ｎ］＝（ｘ１［ｎ＋１］－ｘ１［ｎ］）／ｈ ｕ（ｔ）→ｕ［ｎ］＝ｓｉｎ（ω・ｈ・ｎ） とおけばいいのでは？ すると ｘ”（ｔ）→ｘ２［ｎ］＝（ｘ［ｎ＋２］－ｘ［ｎ＋１］＋ｘ［ｎ］）／ｈ＾２ ｘ（０）＝ａ→ｘ［０］＝ａ ｘ’（０）＝ｂ→ｘ１［０］＝（ｘ［１］－ｘ［０］）／ｈ＝ｂ になります ｘ１［ｎ］とｘ２［ｎ］を消去してｘ［ｎ］だけの式にして解いてください ０＜ｈを小さくすればするほど近似はようなります
補足
ご回答ありがとうございます。 今頃遅いですが、自分で書いた差分方程式がメチャクチャでしたので訂正します。 (x[n+1]-2x[n]+x[n-1])/dt^2=-x[n] そして質問がございます。おそらくnubouさんが書いてくださった式を整理すると差分方程式は、 (x[n+2]-2x[n+1]+x[n])/h^2=-x[n] になりますよね？初期条件のx[0]=aは分かりますが、x1[0]=(x[1]-x[0])/h^2=bをどのように使用したらよいのか分かりません。また、x[1]はどのように求めるのでしょうか？連立方程式を解くのでしょうか？ お手数ですがよろしくお願いします。
補足
ご回答ありがとうございます。遅くなりましてすみません。 更正された式で試してみませたが、計算結果は以前の式のものと全く同じになりました。難しいですねぇ。。まだ何か方法がありましたらお願いいたします。