差分方程式の解き方

質問

【差分方程式】
次の差分方程式の解き方を教えてください。
f(n+2)-7f(n+1)+12f(n)=6, f(0)=1, f(1)=3

f(n+2)-6f(n+1)+9f(n)=4, f(0)=1, f(1)=6

教科書を読んでもなかなかわかりません。
大変困っています。よろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)
g(n+2)-7g(n+1)+12g(n)＝0の特性方程式の解は3と4だから
g(n)=c1*3^n+c2*4^n
g(0)=c1+c2=1，g(1)=3c1+4c2=3からc1=1，c2=0
つまりg(n)=3^n
f(n+2)-7f(n+1)+12f(n)=6であればc-7c+12c=6を解いてc=1だから
f(n)=3^n+1
(2)
g(n+2)-6g(n+1)+9g(n)＝0の特性方程式の解は3(重解)だから
g(n)=(c1+c2*n)*3^n
g(0)=c1=1，g(1)=(c1+c2)*3=6からc1=1，c2=1
つまりg(n)=(1+n)*3^n
f(n+2)-6f(n+1)+9f(n)=4であればc-6c+9c=6を解いてc=1だから
f(n)=(1+n)*3^n+1

お礼

とても助かりました！ありがとうございました！