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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:置換積分におけるdxとdtの関係)
置換積分におけるdxとdtの関係
このQ&Aのポイント
- 自然数n≧2に対して、I[n]=インテグラル[0→π/2](sinx)^n dx、J[n]=インテグラル[0→π/2](cosx)^n dx とおく。
- I[n]=J[n] となることを証明せよ。
- 証明のやり方について、I[n]に関するsinx=tと置換し、J[n]に関するcosx=sと置換した式が同じ形になることを示す方法について質問しています。
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> 同じ形になることを示すやり方 それでも良いだろうと思います。積分範囲の両端(x=0,x=π/2)を除いて sin xもcos xもいつも正である、ということを使う訳で、これを言っておかないと(うるさいことを言えば、ですが)答案を読む方には「積分範囲が0~2πのときだって全く同じやり方で良いと思ってるかも知れないぞ」という疑いが出るかも。また、(これまたうるさいことを言えば、ですが)両端で変なことが起こらないということ、つまり、 ∫[ε~π/2-ε] (sin x)^n dx でε→+0としたときの極限がI[n]になるということへの言及が必要でしょうかね。この証明があれば、積分範囲から両端点を除いたってI[n], J[n]が変わらないことが保証できるから、|t|<1の範囲だけ考えればいい。 …いや、ま、素直に t = π/2-x と変数変換した方が確実で楽ちんっすよ。