【高校物理】

質問

【高校物理】
質量ｍの小球を地面から高さｈの上空に打ち上げる。地球の半径をＲ、質量をＭ、万有引力定数をＧとする。

小球を地表から高さｈに運ぶ仕事を求めよ。

上空では万有引力がｍｇにならないはずで、引力が変化してるような気がします。。なので仕事の求め方がわかりません。。。

よろしくお願いします。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

力学的エネルギーの変化 = 保存力以外の力がした仕事

という関係を使います。したがって，求める仕事は

（高さhの位置エネルギー）-（地表の位置エネルギー）
= { -GMm/(R+h) } - { -GMm/R }
= GMm{ 1/R - 1/(R+h) }

となります。なお，本来の仕事の定義からこれを求めるには積分が必要で，万有引力の位置エネルギー変化を求める計算と結局同じなのですが，

W = ∫[R～R+h]GMm/r^2 dr
= GMm{ 1/R - 1/(R+h) }

となります。

なお，ついでにh<<Rのときの近似について補足しておきます。

1/(R+h) = 1/R・1/(1+h/R) = 1/R・(1+h/R)^-1
≒ 1/R・(1-h/R) = 1/R - h/R^2

後半でx<<1のとき，(1+x)^n ≒ 1+nxの近似を用いました。

よって，
1/R - 1/(R+h)　≒　h/R^2
∴W ≒ GMmh/R^2
ここで，g = GM/R^2により
W ≒ mgh
となります。

お礼

なるほど…
丁寧な説明、ありがとうございました！