方程式の組み立て方について(再考しました)

質問

方程式の組み立て方について(再考しました)

先ずは前回教えていただいたnaniwacchiさん、oyaoya65さん
ありがとうございます。

”曲線上の点P(x, y)における接線とx軸の交点をQとした時、PQが一定の値Kとなる曲線を求めよ”
という問題の考え方についてです。以下、行き詰りましたが自分の解答です。

曲線をy=f(x)として座標p(a,b)の接線の方程式を考える。

bはaにより決まるので P(a,f(a)),傾きは1回微分のf'(a)，
∴　y=f'(a)x+cの直線の式に点Pを代入して、f(a)=f'(a)a+c
c=f(a)-f'(a)aを代入して、y=f'(a)x-f'(a)a+f(a)
y=f'(a)(x-a)+f(a)

これとx軸の交点のx座標はy=0の時、
f'(a)(x-a)+f(a)=0
f'(a)x=f'(a)a-f(a)
x=a-f(a)/f'(a)

三平方を使って、
PQ^2={(f(a))^2+{(a-f(a)/f'(a))-a}^2}
={(f(a))^2+(f(a)/f'(a))^2}=K^2

y^2 + (y/y')^2 = K^2
となります。” y '/y＝・・・の形”で以下考えました。

(y/y')^2 = K^2-y^2
(y/y') = √(K^2-y^2)
y = {√(K^2-y^2)}y'
y/{√(K^2-y^2)} = y'

∫ y/{√(K^2-y^2)} dy = y
(K^2-y^2)=t として、dy = -1/2y

-1/2∫ 1/√t dt より
y=-√(K^2-y^2)

曲線の式は y = f(x) = -√{K^2-(f(x))^2}
になりましたが、この式を満たすkとf(x)の値すら思いつきません。
どこのあたりで間違えたのでしょうか？

お手数をお掛けしますが、ご指導ください。

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

=K{cost+log(cost-1)/2-log(cost+1)/2}
までは合ってますが、正確には、
=K{cost+log(1-cost)/2-log(1+cost)/2}

（cos^2(t)/sint=1/sint-sint　からでもできます）

sint=y/K
cost=√(K^2-y^2)/K
より、
右辺=√(K^2-y^2)+K{log(1-√(K^2-y^2)/K)-log(1+√(K^2-y^2)/K)}/2
=√(K^2-y^2)+K{log(1-√(K^2-y^2))-log(1+√(K^2-y^2))}/2

これをさらに変形させればたぶん＃２さんと同じになるのでしょう。

お礼

捕捉させて頂いた直後に思いつきましたが、
もしかして、

sint=y/k=対辺/斜辺
∴底辺=√(k^2-y^2)
よって、cost=底辺/斜辺=√(k^2-y^2)/k
と導出できました。

ありがとうございます、ここ2日解けなくて悩んでいた問題でしたので、大変助かりました！

補足

何度もすみません…orz

sint=y/Kは分るのですが、
cost=√(K^2-y^2)/Kがどの様に出てくるのか、分かりません。

sint=y/Kの両辺を微分しているのですか？

回答No.2

oyaoya65

>(K^2-y^2)=t として、dy = -1/2y
dyの式以降間違い

>y/{√(K^2-y^2)} = y'
{√(K^2-y^2)}(y'/y) = 1
∫{√(K^2-y^2)}(y'/y) dy = x+C

y=Ksin(t)で置換して解けばいいですが
これをWolframAlphaサイトを利用して解けば
（「solve(y'(x)=y/Sqrt(K^2-y^2),y(x))」と入力すればよい）

K·log(K^2·y)+√(k^2-y^2)-k·log(2√(K^2-y^2)+2K)=x+C

これを図示してみると
Cは x軸方向に平行移動するだけのパラメーターなので簡単のため C=0とします。
Kをパラメータとしてプロットして添付します。

お礼

#2、#3の解法から
K·log(K^2·y)+√(k^2-y^2)-k·log(2√(K^2-y^2)+2K)=x+C
に辿り着けそうです。

度重なるご指導、ありがとうございました！

補足

WolframAlphaサイトは昨晩からお気に入りに登録しました。
教えて頂いて、ありがとうございます。

y=Ksin(t)での解法は予測ができるのですが、
K·log(K^2·y)+√(k^2-y^2)-k·log(2√(K^2-y^2)+2K)=x+Cがどの様に出てくるのかが分からないです。

y'(x)=y(x)/{√k^2-{y(x)}^2}から部分分数分解で、
y'(x)=-{√k^2-{y(x)}^2}/2(y(x-k))-{√k^2-{y(x)}^2}/2(y(x+k))
になるのは分るのですが、ここから先が分かりません…orz

何処を何に置換えれば良いのでしょうか？
面目ありませんが、教えていただけるとありがたいです。

回答No.1

nag0720

間違いは、
y/{√(K^2-y^2)} = y'　→　∫ y/{√(K^2-y^2)} dy = y

y/{√(K^2-y^2)} = y'
{√(K^2-y^2)/y}y' = 1
∫{√(K^2-y^2)/y}dy = x + C

左辺は、y=Ksintとでも置けば解けます。

お礼

有難うございます、やっと解くことができました。

補足

左辺の積分について教えて下さい。

y=Ksintとした場合、dy=kcost dtとなって、
k∫cos^2(t)/sin(t)dtになりましたので、更にcost=uとして、dt=1/-sint duより、

k∫ u^2/-sin^2(t) du = k∫ u^2/-(1-cos^2(t)) du
=k∫ u^2/-(1-u^2) du = k∫ u^2/(u^2-1) du になりました。

これを部分分数分解して、
=k∫ 1+1/{2(u-1)}-1/{2(u+1)} du にして、
k{u+log(u-1)/2-log(u+1)/2}

=k{cost+log(cost-1)/2-log(cost+1)/2}
です、ここまでは自信があるのですが、以下は心配です。

y=Ksintと言うことは、t=asin(y/k)ですよね？
代入して
=k[cos{asin(y/k)}+log{cos(asin(y/k))-1}/2-log{cos(asin(y/k))+1}/2]
という長い形になりましたが、問題はないのでしょうか？

お手数をおかけします。…(- -;)