ルートの定積分について質問です。

質問

ルートの定積分について質問です。

T
∫√{A + B*cos(t) + C*cos(2t)} dt　　の解き方がわかりません。
0

分かる方がいれば、ご教授願います。

回答No.2

alice_44

失礼、迂闊でした。
与式 = ∫[z = cosT → 1] √{ (A-C + Bz + 2Cz^2) / (1 - z^2) } dz
となり、分子に一次項があるから、単なる第二種楕円積分ではありません。

z = (λw + 1) / (w +λ) で置換して、λ を適当な値にすると、
分子の一次項を消すことができます。
具体的には、λ = -μ ± √(μ^2 - 1), μ = (A+C)/B です。
その替わり、dz/dw に由来する因子が現われて、
与式 = ∫ D √{ (1 - k^2w^2) / (1 - w^2) } dw/(w + λ)^2
となります。(ただし、D, k は定数)

被積分関数を、√{ (1 - k^2w^2) / (1 - w^2) } /(w + λ)^2
= { (1 - k^2w^2) / (w + λ)^2 } / √( (1 - k^2w^2)(1 - w^2) )
と変形して、有理式部分を部分分数分解すれば、
= { E + F/(w + λ) + G/(w + λ)^2 } / √( (1 - k^2w^2)(1 - w^2) )
となります。(ただし、E, F, G は定数)

結局、
与式 = (DE) ∫dw/√( (1 - k^2w^2)(1 - w^2) )
　　+ (DF) ∫dw/{ (w + λ) √( (1 - k^2w^2)(1 - w^2) ) }
　　+ (DG) ∫dw/{ (w + λ)^2 √( (1 - k^2w^2)(1 - w^2) ) }
です。

右辺第一項は、第一種楕円積分そのものであり、
右辺第二項は、第二種楕円積分を使って、
右辺第三項は、第三種楕円積分を使って表示することができます。
(長くなり過ぎるので、省略。そろそろ、息切れと眩暈がします。)

回答No.1

alice_44

cos(2t) = 2(cos t)2乗 - 1 から、
√ の中身は、cos t の二次式になります。
そこで、z = cos t で置換積分すると、
ありふれた、第二種楕円積分へと変形できます。

お礼

回答いただき誠にありがとうございました。
返事が遅くなり申し訳ありません。

z=cos tで置換積分すると、
　　 cos T
　　∫ sqrt[ { (A + B*z + c*(2*z^2 - 1) } / (1 - z^2)] dz
　　 1
となるところまではできたのですが、私の第二楕円積分について理解が足りないため、ご指摘頂いた内容で解くことができませんでした。

よろしければ再度ご回答をお願いしたします。