数学3 定積分と不等式

質問

いつもお世話になっております。定積分の不等式への応用例について質問させて下さい。

定積分の定義から、
「閉区間[a,b]でf(x)≧0ならば、∫[aからbまで]f(x)dx≧0が成り立つ。(等号成立はこの区間で常にf(x)=0の場合に限る)」が成り立っていますが、この逆は成り立つのでしょうか？

この質問のわけは、
不等式
sin(x)≧(2/π)・x を　0≦x≦π/2　の範囲で証明するのに、f(x)=sin(x)-(2/π)・xと置いて
∫[0→(π/2)]f(x)≧0
となれば、区間[0,(π/2)]ではf(x)≧0 が言えるのではないかな、と思ったからです。
下らない質問ですいませんが、突っ込んで下さると有り難いです。宜しくお願い致します。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

「逆」ってことは
「∫[aからbまで]f(x)dx≧0 ならば閉区間[a,b]でf(x)≧0」
ということでしょうか.

もしそうなら, さすがに無理. a = -1, b = 1, f(x) = x を考えてみよう.

お礼

御回答ありがとうございます。
そうですか…。甘かったですね。
もう少し頑張ってみます。

補足

区間[a,b]が、正の範囲内ではどうだろう、と思ったのですが、面積のところで区間[a,b]内でf(x)の符号が変るなら、その符号の変わるxの部分で最初の定積分を(和の形に)分けなくてはいけないから、やはり逆の成立は無理ですね(反例は多過ぎるくらいありますね)。