この積分の計算の仕方

質問

∫2t√(t^2+1)dt
（これは定積分で、∫のすそは下側が0、上側が1です。）
=[2/3√(t^2+1)^3]
（3分の2掛ける(t^2+1)の3乗のルートです。）

となるらしいのですが、（解答にそう書いてあったので。）
なぜこうなるのかわかりません。
√(t^2+1)を置換してみたり、t=tanθと置換してみたりしましたが、上手くいきませんでした。

回答No.3

zk43

√の中身の微分が2tなので、t^2+1をuとおくと、du=2tdtとなって、
√uの積分になります。
合成関数の微分に慣れればすぐに見当がつきます。
慣れれば、置き替えなくてもできるようになります。

回答No.2

info22

#1です。
>微分すれば2t√(t^2+1)となる値がすぐにわかるということですか？
そうですね。
∫[0→1] 2t*√(t^2+1)dt=∫[0→1](t^2)'*(t^2+1)^(1/2)dt
という変形を頭の中でやります。すると一辺に次に続きます。
=[(2/3)(t^2+1)^(3/2)](t=1)-[(2/3)(t^2+1)^(3/2)](t=0)
=(2/3)(2√2 -1)

あるいは
∫[0→1] 2t*√(t^2+1)dt=∫[0→1] (t^2+1)^(1/2)d(t^2)
と頭の中で考える人もいるでしょう。
=[(2/3)(t^2+1)^(3/2)]|[0→1]
=(2/3)(2√2 -1)

これば、A#1のような置換を何度もやって経験を積んだり
合成関数の微分や積分をよく理解している人なら普通にできることです。
{f(g(t))}'=f'(g(t))*g'(t)
という微分公式を積分で考えれば
∫g'(t)f'(g(t)dt=f(g(t))+C
という事です。
fやgの関数が何に当たるかが分かるなら直接、いきなり積分ができるわけです。（これは短時間に計算ができることを意味します。）

回答No.1

info22

分かる人は、そのまま積分できる積分です。

どうしても置換しないと分からない人は
x=t^2
という置換をして下さい。
dx=2tdt
∫2t√(t^2+1)dt=∫{(x+1)^(1/2)} dx
=(2/3)(x+1)^(3/2)+C
=(2/3){√(t^2+1)}^3+C

お礼

解答ありがとうございます。

>>分かる人は、そのまま積分できる積分です。
とありますが、何かコツがあるのでしょうか？
微分すれば2t√(t^2+1)となる値がすぐにわかるということですか？