△ABCの外心Ｏが三角形の内部にあるとする

質問

α、β、γはα→OA(OAベクトル)+β→OB+γ→OC=→0を満たす正の数とする
また直前OA、OB、OCがそれぞれ辺BC、CA、ABと交わる点をA´、B´、C´とする
(1)→OAとαとβとγを使って→OA´を表せ
(2)△A´B´C´の外心がＯに一致すればα=β=γであることを示せ

Aを始点とすると
α→OA+β→OB+γ→OC=→0
-α→AO+β(→AB-→AO)+γ(→AC-→AO)=→0
-(α+β+γ)→AO+β→AB+γ→AC=→0
(α+β+γ)→AO=β→AB+γ→AC
α、β、γが正よりα+β+γ≠0
よって
→AO=β→AB/(α+β+γ)+γ→AC/(α+β+γ)
→OA=-β→AB/(α+β+γ)-γ→AC/(α+β+γ)
これ以降が分からないので、解き方を教えてほしいです
お願いします

回答No.2

ferien

α、β、γはα→OA(OAベクトル)+β→OB+γ→OC=→0を満たす正の数とする
＞また直前OA、OB、OCがそれぞれ辺BC、CA、ABと交わる点をA´、B´、C´とする

＞(1)→OAとαとβとγを使って→OA´を表せ
α→OA(OAベクトル)+β→OB+γ→OC=→0より、
－αＡＯ＋βＯＢ＋γＯＣ＝０
ＡＯ＝（β／α）ＱＢ＋（γ／α）ＯＣ
Ａ，Ｏ，Ａ'は一直線上にあるから、
ＯＡ'＝ｋＡＯとおける
ＯＡ'＝（β／α）ｋＱＢ＋（γ／α）ｋＯＣ　……（１）
ＢＡ'：Ａ'Ｃ＝ｔ：（１－ｔ）とおくと、
ＯＡ'＝（１－ｔ）ＯＢ＋ｔＯＣ……（２）
（１）（２）を係数比較すると、
１－ｔ＝（β／α）ｋ，ｔ＝（γ／α）ｋ
連立で解くと、
ｋ＝α／（β＋γ），ｔ＝γ／（β＋γ）
よって、ＯＡ'＝－ｋＯＡより、
ＯＡ'＝｛－α／（β＋γ）｝ＯＡ

＞(2)△A´B´C´の外心がＯに一致すればα=β=γであることを示せ
上と同様にして、
ＯＢ'＝｛－β／（γ＋α）｝ＯＢ，ＯＣ'＝｛－γ／（α＋β）｝ＯＣ
Ｏは△ＡＢＣの外心だから、｜ＯＡ｜＝｜ＯＢ｜＝｜ＯＣ｜＝ａ＞０とおくと、
△A´B´C´の外心がＯに一致すれば、｜ＯＡ'｜＝｜ＯＢ'｜＝｜ＯＣ'｜
｜ＯＡ'｜＝｜ＯＢ'｜より、
｜－α／（β＋γ）｜｜ＯＡ｜＝｜－β／（γ＋α）｜｜ＯＢ｜
｛α／（β＋γ）｝ａ＝｛β／（γ＋α）｝ａだから、
（α－β）（α＋β＋γ）・ａ／｛（β＋γ）（γ＋α）｝＝０
α＋β＋γ＞０，ａ＞０，分母＞０より、α－β＝０　よって、α＝β
｜ＯＢ'｜＝｜ＯＣ'｜より、同様にして、β=γ
以上より、α=β=γ

お礼

ありがとうございました

回答No.1

nag0720

(1)
→OA´=s→OA
とすると、
→AA´=→OA´-→OA=(s-1)→OA=(1-s)β→AB/(α+β+γ)+(1-s)γ→AC/(α+β+γ)
A´は直線BC上にあるので、
(1-s)β/(α+β+γ)+(1-s)γ/(α+β+γ)=1
が成り立つ。
sについて解けば、
s=-α/(β+γ)
→OA´=-α→OA/(β+γ)

(2)
Oは△ABCの外心なので、
OA=OB=OC
△A´B´C´の外心もＯなら、
OA´=OB´=OC´

(1)と同様に、
→OB´=-β→OB/(α+γ)
→OC´=-γ→OC/(α+β)
が成り立つので、
α/(β+γ)=β/(α+γ)=γ/(α+β)
α,β,γ＞0 の条件のもとでこれを解けば、
α=β=γ となる。

お礼

ありがとうございました