以下の問題が解けません。

質問

以下の問題が解けません。

関数f(x)を x-α　で割ると余りがmであった。
またf(x)を x^2-β　で割ると余りがpx+qであった。
f(x)を(x-α)(x^2-β)で割ると余りはいくらか。

どうアプローチしていいかもよくわかりません・・・解説よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足の質問の回答

>>また R(x)は２次式なので
>>R(x)=a(x^2-β)+px+q …(1)
>とありますが、２次式である理由はわかるのですが、xの係数をpと決定していい理由がわか
>りません。

f(x)=Q(x)(x-α)(x^2-β)+R(x) …(2)

R(x)=a(x^2-β)+px+q …(1)

(2)に(1)をを代入してみれば分かるでしょう。

f(x)=Q(x)(x-α)(x^2-β)+a(x^2-β)+px+q
　　={Q(x)(x-α)+a}(x^2-β)+px+q　…(3)

条件に「f(x)を (x^2-β)　で割ると余りが px+q であった。」
とあるでしょう。

(3)はそれを式にしただけということが分かりませんか？

(3)はf(x)を(x^2-β)で割った商が

{Q(x)(x-α)+a}

ですから、余りは条件から

px+q　

となるはずですね。
xの一次の項の係数は問題の条件として　p　と与えられているのです。

[ポイント]この手の問題を要領よく解くには、問題で与えられた条件を式の中に組み入れて、出来るだけ未知の定数(ここでは「a」のみ）を出来るだけ少なくすることに尽きます。
未知の定数を多くすればするほど、変数の多い連立方程式を立てて解かねばなりません。そこに計算ミスが入ったり、余分な解答時間がかかることになります。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。よくわかりました。

回答No.2

info22_

>f(x)を(x-α)(x^2-β)で割ると余りはいくらか。
これを求めるにはf(x)を(x-α)(x^2-β)で割った商をQ(x)、余りをR(x)として

f(x)=Q(x)(x-α)(x^2-β)+R(x)
ここで、R(x)は２次以下の式。

と書けます。このR(x)を求めればいいことになります。

また R(x)は２次式なので
R(x)=a(x^2-β)+px+q …(1)
と書ける。

「関数f(x)を x-α　で割ると余りがmであった。」に
剰余定理を適用して
f(α)=R(α)=a(α^2-β)+pα+q=m

この式からaを求めると

　a={m-(pα+q)}/(α^2-β)

この aを(1)に代入すれば　R(x) が求まります。

　R(x)=(m-pα-q)(x^2-β)/(α^2-β) +px+q

後は、xの降べきの順に式を整理しておいた方が良いかも知れません。

補足

流れは理解できました。ありがとうございます。
お手数ですが、もう１つだけ質問よろしいでしょうか？
＞また R(x)は２次式なので
＞R(x)=a(x^2-β)+px+q …(1)
とありますが、２次式である理由はわかるのですが、xの係数をpと決定していい理由がわかりません。

回答No.1

Tacosan

f(x) を (x-α)(x^2-β) で割った余りを適当において, x-α と x^2-β で割った余りが与えられたものになるようにする.