【指数・対数】

質問

不等式log2√(２-ｘ）+log4(ｘ+2)＞１/２+log2√ｙ/２の表す領域をD

（１）領域D内の点（ｘ、y)がともに整数であるものをすべて求めよ。

（２）(1)で求めた点（x、y)のうちで、√(３)ｘ-ｙを最小にするものを求めよ。

不等式を整理したりはしたんですが、
どうやって領域につなげればいいかわかりません。

よろしくお願いします(><)

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>不等式を整理したりはしたんですが、
どうやって領域につなげればいいかわかりません。

対数の底を併せて、真数を比較すれば良いでしょう。
log[2]√(2-x）+log[4](x+2)＞1/2+log[2]((√y)/2)
底を[]を付けて書くと、式はこれでいいですか?

そうであれば
真数条件と√内の条件から　-2<x<2, y>0...(★)
このとき不等式は

　(1/2)log[2](2-x)+log[2](x+2)/log[2](4)＞1/2+(1/2)log[2](y/4)
２倍して
　log[2](2-x)+log[2](x+2)＞log[2](y/2)
　log[2](2-x)(x+2)＞log[2}(y/2)
log[2]z は単調増加関数だから不等式は真数同士を比較して
　(2-x)(x+2)＞(y/2)
となります。整理して
　y＜-2(x+2)(x-2)
(★)と併せて不等式が表す領域Dは
　y＜-2(x+2)(x-2), -2<x<2, y>0　...(☆)
となります。

(1)は(☆)の領域Dをxy座標のグラフで描けば

点(x,y)の整数x,yの組みはすぐ分かります。

(2)
直線(√3)x-y=kが領域D内のを通過する整数座標点(x,y)を通るような
kの値は、図を描けば、直線(√3)x-y=kが点(x,y)=(1,1)を通るとき
つまり、k=(√3)-1 であることが直ぐ分かると思います。