数学（関数と方程式・不等式）の質問です＞＜

質問

aを実数の定数とする。関数f(x)=x^2-|x-a|-a^2+3a　について、
関数f(x)の最小値をm(a)とするとき、m(a)を求めよ。

という問題で、なんとなくa<0 a≧0で分けるらしいのですが
どうしてこれで分けるのかがよく分かりません。

x<a, x≧aで分けるなら分かるのですが（汗

数学の得意なかた、教えてくださるとたすかります（ノ＞＜）ノ

回答No.2

ferien · ベストアンサー

aを実数の定数とする。関数f(x)=x^2-|x-a|-a^2+3a　について、
＞関数f(x)の最小値をm(a)とするとき、m(a)を求めよ。
ｘ≧ａのとき、
ｆ（ｘ）＝ｘ^2－（ｘ－ａ）－ａ^2＋３ａ
＝ｘ^2－ｘ－ａ^2＋４ａ
＝（ｘ^2－ｘ＋1/4）－1/4－ａ^2＋４ａ
＝（ｘ－1/2）^2-1/4－ａ^2＋４ａ
ｘ＝1/2のとき、最小値－1/4－ａ^2＋４ａ＝ｍ1（ａ）とおく
ｘ＜ａのとき、
ｆ（ｘ）＝ｘ^2＋（ｘ－ａ）－ａ^2＋３ａ
＝ｘ^2＋ｘ－ａ^2＋２ａ
＝（ｘ^2＋ｘ＋1/4）－1/4－ａ^2＋２ａ
＝（ｘ＋1/2）^2－1/4－ａ^2＋２ａ
ｘ＝-1/2のとき、最小値－1/4－ａ^2＋２ａ＝ｍ2（ａ）とおく

ｍ1（ａ）＝ｍ2（ａ）となるのは、
-1/4－ａ^2＋４ａ＝-1/4－ａ^2＋２ａより解くと、
ａ＝０だから、このとき、最小値の値が一致する。
４ａと２ａを比べると、
ａ＜０のとき、ｍ1（ａ）＜ｍ2（ａ）
ａ≧０のとき、ｍ1（ａ）≧ｍ2（ａ）
よって、
ａ＜０のとき、ｍ（ａ）＝－1/4－ａ^2＋４ａ
ａ≧０のとき、ｍ（ａ）＝－1/4－ａ^2＋２ａ

でどうでしょうか？（定義域も決まっていないようなので、単純に考えました。）
グラフを描いてみても分かります。
ｘ＝ａを境にグラフの形が変わります。ａ＝０のときだけ左右対称の形です。

回答No.1

MagicianKuma

>x<a, x≧aで分けるなら分かるのですが
まずは、それですね。正しい方向です。で、x<a, x≧a　それぞれの場合での最小値m(a)を求めたとします。
その後、どちらが小さいのかを検討するときに、「なんとなくa<0 a≧0で分けるらしいのですが」が出てくるのですよ。