絶対収束と条件収束について

質問

Σ(n=0 to ∞) An が条件収束するとすると

Σ(n=0 to ∞) An(x^n)

が |x|<1 のとき絶対収束するというのは、

Σ(n=0 to ∞) An　が有界で、x^nが　n->∞ につれて０に近づくから、という証明でいいのでしょうか？　これだけでは収束するという証明は出来ても絶対収束するという証明にはならないような気がするのですが、いかがでしょうか？　よろしくお願いします。

回答No.1

eatern27

・収束円の内側でΣAn(x^n)が絶対収束する(したがって収束する)
・収束円の外側でΣAn(x^n)は発散する
という事を既知とすれば、自明な事です。

この事をどうやって証明したかを思い出せば、簡単に証明ができます。

お礼

ああそういえばそうでしたね。どうもありがとうございました。