（１）ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)＋2abc

質問

（１）ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)＋2abc
　　　=…(a＋b)(b＋c)(c＋a)

（２）a(b^2－c^2)＋b(c^2－a^2)＋c(a^2－b^2)
　　　=…(a－b)(b－c)(c－a)　　　　　　　　　　　と問題があり、

(1)は対称式であり、(2)は交代式であると説明がなされていて、
さらに、
　対称式は、a＋b、b＋c、c＋a　の１つが因数なら他の２つも因数
　交代式は、(a－b)(b－c)(c－a)　を因数にもつ。
と、説明がなされているのですが、なぜ、
　対称式は、～他の２つも因数
　交代式は、～を因数にもつ
のかが分かりません。誰か知られている方がおられましたら、教えて下さい！！

回答No.9

banakona

たびたびすみません。＃１です。頭を冷やして考え直しました。

ひょっとして質問者さんは、「＃２さんの証明の後に、くだんの論法をして良いか」と聞いているんですか？

だったらＯＫでしょう（ただし用語の間違いは直してください）。

でも、＃２さんの証明法をしたのなら、「同様に、b-c、c-aも因数に持つ。」の方がはるかに簡単です。用語の間違いもせずにすみますし。

あと、前回の私の回答の最後の方で、「だから私は★の証明をしていません。」の★は、ａ－ｂをａ＋ｂと読み替えてください。

回答No.8

banakona

まず＃７での私の誤記を訂正。

誤：が正しい。もっとも「ａ－ｃ，ｂ－ｃ，ｃ－ａの一つを因数に持つなら
正：が正しい。もっとも「ａ－ｂ，ｂ－ｃ，ｃ－ａの一つを因数に持つなら

さて、本題。Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）が交代式とすると、指摘漏れがありました。

＞また、与えられた対称式Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）において、ｂとｃを入れ替えた交代式は、

ではなく「また、与えられた交代式Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）において、ｂとｃを入れ替えると、」

とすべきです（2箇所訂正）。後半の訂正は要らない気もしますが気持ちが悪いので。

あと、Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）＝（ａ－ｂ）Ｑ（ａ，ｂ，ｃ）　・・・★
が成立しているなら、ｂとｃを入れ替えると、
　　　Ｐ（ａ，ｃ、ｂ）＝（ａ－ｃ）Ｑ（ａ，ｃ、ｂ）　・・・☆
となる。これは、Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）が交代式・対称式・どちらでもない　いずれの場合も★を前提としていれば成立する。

あなたの
＞－Ｐ（ａ，ｃ，ｂ）＝－（ａ－ｃ）Ｑ（ａ，ｃ、ｂ）
という式は、☆の両辺に－をつけただけなので、★が成立しているのなら、殆ど意味の無い式です。
ａ－ｃをｃ－ａにしたかったのかもしれませんが、因数の有無を示すだけなら、ｃ－ａでもａ－ｃでも同じことです。
★からいきなり「交代式なのでＰ（ａ，ｂ，ｃ）＝－Ｐ（ａ，ｃ，ｂ）　」とし、＝Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）（ｃ－ａ）Ｑ（ａ，ｃ、ｂ）で十分です。

ここで＃６の指摘に戻ってしまうのですが・・・

そもそも本問題の後半（交代式の部分）では、「★を証明しろ」と言っていることに気をつけてください。
これに対し、前半（対称式の部分）では、「★が成立しているものとして～～を証明せよ」と言っている。だから私は★の証明をしていません。第一、できませんし。例えばＰ（ａ、ｂ、ｃ）＝ａ＋ｂ＋ｃという対称式は、ａ＋ｂを因数に持たないのですから。

回答No.7

banakona

＞Ｐ（ａ，ｃ，ｂ）　はｂとｃを入れ替えた対称式なのでは、ないでしょうか？

失礼しました。てっきり＃５さん（＃２さん）のご回答に対する追加質問なので交代式と勘違いしました。

でもそうすると、今度は・・・

＞Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）＝－Ｐ（ａ，ｃ，ｂ）　だから、

が変です。対称式なら入れ替えても同じなので

Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）＝Ｐ（ａ，ｃ，ｂ）

が正しい。もっとも「ａ－ｃ，ｂ－ｃ，ｃ－ａの一つを因数に持つなら残りの２つも因数」という命題は正しいですが。

あと、
＞また、与えられた対称式Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）において、ｂとｃを入れ替えた交代式は

の表現はおかしい。対称式はいくら入れ替えても対称式（だからこそ対称式）。交代式を入れ替えると符号は変わるけど、入れ替えたものも交代式。
対称式を入れ替えたら交代式になるということはありません。

お礼

御回答有り難う御座います。しかし、私が回答者様に勘違いをさせてしまったみたいです。よろしければ、補足質問に御回答頂けると、有り難いです。

補足

banakonaさんは、勘違いしていませんよ。私がお聞きしている事は、

与えられた対称式Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）において、ｂとｃを入れ替えた交代式は、符号が変わるので、
－Ｐ（ａ，ｃ，ｂ）　になるのではないか？　という事です。そこで、Ｐ（ａ，ｃ，ｂ）は、ｂとｃを入れ替えた対称式なのではないか？　という事です。

回答No.6

banakona

＞No.1さんのやり方で、以下のようにやっても、合っていますか？

でしゃばりの＃１です。

まず、題意に反します。対称式の方は「a＋b、b＋c、c＋a　の１つが因数なら」という条件がありますが、交代式の方は、無条件です。

仮に、対称式の方と同じ条件があったとしても、流れがおかしい。

＞また、与えられた対称式Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）において、ｂとｃを入れ替えた交代式は、

の後は　　Ｐ（ａ，ｃ，ｂ）＝（ａ－ｃ）Ｑ（ａ，ｃ、ｂ）　　
とすべきです。次の行は削除して、

＞ここで、
＞Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）＝－Ｐ（ａ，ｃ，ｂ）　だから、

のあとが　　　Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）＝－（ａ－ｃ）Ｑ（ａ，ｃ、ｂ）
　　　　　　　　　　　　　　　＝（ｃ－ａ）Ｑ（ａ，ｃ、ｂ）

となって、一応（ｃ－ａ）が因数であることは示せるけど、前記条件がなくても因数に持つ。

お礼

御回答有り難う御座います。しかし、またまた、回答者様の御回答中に疑問に思う点が御座いましたので
、質問させて頂きます。また、お答え頂けると、有り難いです。

補足

御回答有り難う御座います。回答者様の御回答中に、

＞また、与えられた対称式Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）において、ｂとｃを入れ替えた交代式は、

の後は　　Ｐ（ａ，ｃ，ｂ）＝（ａ－ｃ）Ｑ（ａ，ｃ、ｂ）　　
とすべきです。

とありますが、この場合、Ｐ（ａ，ｃ，ｂ）　はｂとｃを入れ替えた対称式なのでは、ないでしょうか？

回答No.5

nag0720

＞∴P(b,b,c)=0
＞この事から、P(a,b,c)は(a-b)で割り切れる　　と、なぜ、言えるのかが分かりません。

因数定理は知っていますか。
「多項式 F(x) に対し、F(a)=0 なら F(x) は x－a を因数に持つ」

P(a,b,c)をaに関する多項式とみなして、F(a)=P(a,b,c) と考えると、
F(b)=0　なので、F(a)は a-b を因数に持ちます。

お礼

御回答有り難うございます。しかし気になる点が御座いましたので、また、補足させて頂きました。どうかお答え頂けると、有り難いです。

補足

No.1さんのやり方で、以下のようにやっても、合っていますか？

与えられた対称式Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）において、例えば、（a－b）が因数なら、
Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）＝（ａ－ｂ）Ｑ（ａ，ｂ，ｃ）　　とおける。

また、与えられた対称式Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）において、ｂとｃを入れ替えた交代式は、
－Ｐ（ａ，ｃ，ｂ）＝－（ａ－ｃ）Ｑ（ａ，ｃ、ｂ）　　
　　　　　　　　　＝（ｃ－ａ）Ｑ（ａ，ｃ、ｂ）　　とおける。

ここで、
Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）＝－Ｐ（ａ，ｃ，ｂ）　だから、
　　　　　　　　＝（ｃ－ａ）Ｑ（ａ，ｃ、ｂ）

よって、与式Ｐ（ａ，ｂ、ｃ）は（ｃ－ａ）も因数にもつ。
同様に、ａとｃを入れ替えた場合について行うと、
与式Ｐ（ａ，ｂ、ｃ）は（ｂ－ｃ）も因数にもつ。

回答No.4

banakona

＞Ｐ（ａ，ｃ，ｂ）　という表現の仕方は、a,b,cから成り立っている多項式P　という事でしょうか？

そうです。あと、Ｐ（ａ，ｂ、ｃ）のｂとｃをひっくり返したということも表現しています。

ついでに答えてしまうと、

＞P(b,b,c)=-P(b,b,c)　　がなぜ、P(b,b,c)=0　になるのかが良く分かりません。そこを詳しく教えて下さい！！

P(b,b,c)=-P(b,b,c)

右辺を左辺に移項して　　P(b,b,c)＋P(b,b,c)＝０
　　　　　　　　　　　　　　　　２P(b,b,c)=０
　　　　　　　　　　　　　　　　∴P(b,b,c)=０

お礼

御回答有り難う御座いました。

回答No.3

nag0720

＞P(b,b,c)=-P(b,b,c)　　がなぜ、P(b,b,c)=0　になるのかが良く分かりません。

x=-x　なら　x=0　でしょ。

お礼

御回答有り難う御座いました。しかし、まだ疑問に思っている事が御座いましたので、また、補足質問させて頂きます。どうかお答え頂けると、有り難いです。

補足

回答者様のNo.2の回答の中の

>a=bとすると、
P(b,b,c)=-P(b,b,c)
∴P(b,b,c)
この事から、P(a,b,c)は(a-b)で割り切れる　　と、なぜ、言えるのかが分かりません。ここの所を詳しく教えて頂けると、有り難いです。

回答No.2

nag0720

交代式とは、どの２つの文字を交換しても元の式と符号だけが異なる整式です。
P(a,b,c)=-P(b,a,c)

a=bとすると、
P(b,b,c)=-P(b,b,c)
∴P(b,b,c)=0

つまり、
P(a,b,c)は(a-b)で割り切れるので、(a-b)を因数にもちます。
同様に、(b-c)、(c-a)も因数にもちます。

お礼

御回答有り難うございます。しかし、ご不明な点が御座いましたので、補足質問させて頂きます。また、お答え頂けると、有り難いです。

補足

回答者様の回答の中の

＞a=bとすると、
P(b,b,c)=-P(b,b,c)　　がなぜ、P(b,b,c)=0　になるのかが良く分かりません。そこを詳しく教えて下さい！！

回答No.1

banakona

与えられた対称式Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）において、例えば（ａ＋ｂ）が因数なら、
　　Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）＝（ａ＋ｂ）Ｑ（ａ，ｂ，ｃ）

と書ける。ここでｂとｃを入れ替えると
　　Ｐ（ａ，ｃ，ｂ）＝（ａ＋ｃ）Ｑ（ａ，ｃ、ｂ）　
となるが、Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）は対称式なので、Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）＝Ｐ（ａ，ｃ，ｂ）
つまり、
　　Ｐ（ａ，ｂ、ｃ）＝（ａ＋ｃ）Ｑ（ａ，ｃ、ｂ）
となるので、与式Ｐ（ａ，ｂ、ｃ）は（ａ＋ｃ）も因数にもつ。

同様のことをａとｃを入れ替えた場合について行なえば、（ｃ＋ｂ）を因数に持つことも示せる。

お礼

御回答有り難うございます。しかし、気になる点が御座いましたので、補足質問させて頂きます。また、御回答頂けると有り難いです。

補足

Ｐ（ａ，ｃ，ｂ）　という表現の仕方は、a,b,cから成り立っている多項式P　という事でしょうか？