微分方程式の一意性

質問

微分方程式の一意性

下の写真の問題ですが、どのようにしたら一意でないこと、解が無限にあることをを示せるかわかりません。ヒントを頂ければと思います。

回答No.4

Anti-Giants · ベストアンサー

今度こそ大丈夫！・・・なはずです。
いちおう検算しました。

ある 0 < Tを固定します。

T < t のとき
x = y^2.
dy/dt = 1.
y = t + C.
x = (t + C)^2.

0< t ≦ T のとき
x = 0.
これで、初期条件を満たす。

この区間ごとに定義したxが0<tで微分可能であるためには t = Tで微分可能であること。
x = Tでの左側微分は0、右側微分は 2T + 2C、よって C = -T。
よって
x=
0, (0 ≦ t ≦ T)
(t - T)^2, (T < t)
は解である。
0<Tは任意だから、無限個の解をもつ。

負の方向についても同様。

参考URL：

http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/ode.pdf

お礼

何度も回答ありがとうございます。とても分かりやすかったです！！

回答No.3

178-tall

リプシッツ不連続でよく出される例みたいですね。
　　　↓ 参考URL
>3.1.3 解の一意性

参考URL：

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~naito/lecture/2002_SS.ode/PDF/resume-06.pdf

お礼

とても参考になるページありがとうございます。リプシッツ不連続の１例なのですね。

回答No.2

Anti-Giants

No1.です。

違いますね。勘違いしていました。

回答No.1

Anti-Giants

x(t) = (y(t))^2e^{iθ}

とおいて、微分方程式を変形して解いてみてください。