微分方程式の解き方

質問

この微分方程式の解き方を教えてください
　d^2u/dφ^2 + u = 1/l
楕円の問題で出てきた微分方程式で、uをφの関数として一般解を求めよ、という問題です。
三角関数でおいて解いてみたのですが、そのあとの問題との兼ね合いが悪く、間違っている気がしてなりません。
かなり初歩的な質問かもしれませんがよろしくお願いします。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

d^2u/dφ^2 + u = 1/l　　　　　　（1）

d^2u/dφ^2 + u =0　　　　　　　　（2）

の基本解を求める。特性方程式は

p^2+1=0

p=±i

基本解は

exp(±iφ)=cosφ±isinφ

これは基本解をcosφ,sinφに選んでよいことを示している。

(2の一般解ugは

ug=c1cosφ+c2sinφ

(1)の特殊解usを

us=aφ^2+bφ+c

とおき、(1)に代入

us'=2aφ, us''=2a

2a+ax^2+bx+c=1/l

これより

a=0, b=0, 2a+c=1/l　⇒　c=1/l　⇒　us=1/l

よって(1)の一般解uは

u=ug+us=c1cosφ+c2sinφ+1/l

お礼

やっぱり三角関数型になりますよね……

もうすこし後ろの問題にしっかり取り組んでみたいと思います

ありがとうございました