数IIIの問題です。

質問

数IIIの問題です。

xy平面上に楕円C:x^2/a^2+y^2/b^2=1がある。ただし、a,bを異なる正の定数とする。Cに接し、傾きtの直線をlとする。
(1)lの方程式を求めよ。
(2)原点とlの距離を求めよ。

という問題です。
lをy=t(x-p)+qとおいてCに代入して、判別式D=0としようと思ったのですが、数が大変なことになってしまい、分からなくなってしまいました…汗
求め方の過程でよいので、教えていただけたら幸いです。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
楕円上の点(xo,yo)における接線の公式習っていませんか？
xox/a^2 +yoy/b^2=1…(A)
xo=acos(d),yo=bsin(d)…(B)とおくと
xcos(d)/a+ysin(d)/b=1…(C)
この接線の傾きがtとなるとき
t=-(b/a)cot(d)…(D)
tan(d)=-b/(at)
cos(d)=±1/sqrt(1+tan^2(d))=±1/sqrt(1+(b/(at))^2)=±at/sqrt((at)^2+b^2)…(E)
sin(d)=cos(d)tan(d)=-(±b)/sqrt((at)^2+b^2)…(F)
(E),(F)を(C)に代入
-(xt-y)=±sqrt((at)^2+b^2)
接線lの式（同じ傾きの接線は平行な2本存在）
y=tx±√((at)^2+b^2)…（G）

(2)
原点を通り2本の接線l,l'と原点の距離Lは
L=√((at)^2+b^2)/√(1+t^2)

a=2,b=1,t=1/2,d=π/6の場合の接線（赤線、青線）のグラフを添付しておきます。

お礼

詳しい回答、本当にありがとうございました；；
まだまだ勉強不足のようです…頑張ります！！

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

数IIIなので、それらしく・・・。＾＾

傾き：tとありますが、実際接線は接点を決めたときに与えられますよね。
ということは、tは接点の座標で表せるはずですね。
質問者さんの与えている式を借りれば、tは接点の座標 (p, q)を用いて表せるはずです。

その傾きですが、数IIIらしく dy/dxで求めてみましょう。
両辺を微分して、整理・・・ですね。
dy/dxは x, yの式として与えられます。x＝ p, y＝ qとすれば、点(p, q)における接線の傾きになります。

(p, q)については、もうひとつ「条件」がありますね。
「接点」は当然○○の上の点です。

また一度考えてみてください。＾＾