微分の問題を教えてください

質問

ａ、ｂは実数の定数で、次の条件を満たすものとする。
(条件)放物線ｙ=ｘ^2+ａｘ+ｂをＣとしたとき、Ｃの異なる２本の接線Ｌ1、Ｌ2で原点Ｏで直交するものが存在する。この時Ｃ、Ｌ1、Ｌ2の３つで囲まれた部分の面積が最小になるようなａ、ｂを求めよ。

ＣとＬ1、ＣとＬ2の接点を(ｔ、ｔ^2+ａｔ+ｂ)と(ｓ、ｓ^2+ａｓ+ｂ)とおいてみたり、Ｌ1やＬ2の接線の傾きを出して直交するから傾きをかけて－１が使えるとは思ったのですがいまいち上手く出来ませんでした。

よろしくお願いします。

回答No.1

noname#108210 · ベストアンサー

方針だけ。
まず，接点のx座標をt,s (t>s)として，面積の式を積分で
求めましょう。

次に，接線の関係　(2t+a)(2s+a)=-1‥‥（１）
（１）を用いて面積を最小にするようなtとsの関係式
を求めましょう。(因みにt+s=0,a=0)

これらを（１）へ代入してtの値を求める。(t=1/2)
放物線の式へ代入して，cの値を求める。(c=1/4)

お礼

ありがとうございました！

回答No.3

nag0720

曲線y=f(x)の２点(t,f(t)),(s,f(s))の接線の式は、
y=f'(t)(x-t)+f(t)
y=f'(s)(x-s)+f(s)
接線の交点(u,v)は、
u=(f(s)-f(t)+tf'(t)-sf'(s))/(f'(t)-f'(s))
v=(f'(t)f(s)-f'(s)f(t)+(t-s)f'(t)f'(s))/(f'(t)-f'(s))

f(x)=x^2+ax+b、f'(x)=2x+a　なので、
u=((s^2+as+b)-(t^2+at+b)+t(2t+a)-s(2s+a))/((2t+a)-(2s+a))
v=((2t+a)(s^2+as+b)-(2s+a)(t^2+at+b)+(t-s)(2t+a)(2s+a))/((2t+a)-(2s+a))
整理すると、
u=(t+s)/2
v=b+(2ts+at+as)/2
接線の直交条件、(2t+a)(2s+a)=-1　を考慮すると、
u=(t+s)/2
v=b-(a^2+1)/4
面積は、
(t-s)^3/4

2(t-s)=(2t+a)-(2s+a)=(2t+a)+1/(2t+a)
なので、t-s　は　2t+a=±1　のとき最小です。

以上より、t,s が (-a+1)/2, (-a-1)/2　のとき、面積=1/4が最小となります。

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

mis_take

１つの方針を示しますので，やってみてください。

y=x^2+ax+b で考えるのではなく
y=x^2 の傾きが m と -1/m の接線を考える。
接点は m/2 と -1/{2m} である。
これらで囲まれる面積が最小になる場合を求める。
そのときの接線の交点が原点になるように平行移動する。

お礼

ありがとうございました