円の問題です

質問

次の問題を教えてください
t>0とする。xy平面に相異なる２点Ａ，Ｂで交わる２円
Ｃ：x2乗+（y-2)2乗=1 C': (x-t)2乗 +(y-t2乗)2乗=1　がある。
このとき、次ぎの各問いに答えよ。

（１）tのとり得る範囲を求めよ。

（２）（１）の範囲でtを変化させるとき、線分ＡＢの長さの最大値と、
　　　　そのときのtの値を求めよ。

です。よろしくお願いします。

回答No.1

noname#181872 · ベストアンサー

せっぱつまっているようで、いっぱい質問していますね。
答えを教えても意味ないので、ヒントを。

（1）　Cの円の中心と半径は？
同じように　C'の中心と半径は（ある放物線上に乗りますね）？
ということは2つの円が交わるためには中心間の距離が
お互いの半径の合計値よりも近づかなければならないですよね。

（2）直線上に2つ円が乗っていると考えてください。
○　　　　　○
－－－－－－－－－－
こんな感じ。
これがどんどん近づいて、お互い交わった時の交点は、
中心線の垂直2等分線上にありますね。
で、近づけば近づくほど、その垂直2等分線が長くなりません？
というわけで、線分ABの長さが最大の時は円の中心間の距離が
最短の時です。

というわけで頑張って

お礼

早速の回答ありがとうございました。嬉しいご気遣いありがとうございます。頑張ってやってみます。

回答No.2

hero1000

(1)tのとり得る範囲を求めよ
　円Cと円C'が2点で交わるためには、中心点間の距離lが
　　l＜2
　という条件を満たしていなくてはなりません。つまり
　　l^2＜4　・・・(a)

　です。

　ここで
　　l=√{(t-0)^2+(t^2-2)^2}=√(t^4-3t^2+4)
　ですから、
　　l^2 = t^4-3t^2+4
　です。

　ここでf(t)=t^4-3t^2+4としてグラフを書いてみましょう。
　f(t)=0に解がないので、このグラフはx軸と交わりません。
　そしてf'(t)=4t^3-6tより、
　t=0,(√6)/2
　であり、0<t<(√6)/2でf'(t)<0なので

　t=0のときf(0)=4
　0<t<(√6)/2のとき、f(t)はだんだん減っていく
　t=(√6)/2のとき、f(t)=7/4で極小値　・・・(b)
　t>(√6)/2のとき、f(t)はだんだん増えていく

　という感じのグラフになることがわかります。

　(a)の不等式より、f(t)=4となる点を求めればtの範囲がわかります。
　t^4-3t^2+4=4より
　t^4-3t^2 = 0
　よって t=√3 (t>0)

　というわけで答えは　　0＜t＜√3　となります。

(2)(1)の範囲でtを変化させるとき、線分ABの長さの最大値と、そのときのtの値を求めよ。
　中心点間の距離が最小になるとき、線分ABの長さが最大になりますので、
　(1)で書いたグラフの極小値のときのtがそれにあたります。

　よって、t=(√6)/2 です。

　このときの線分ABの長さを求めます。
　線分ABと線分CC'は直角に交わるので、

　(線分ABの長さの半分)^2+(線分CC'の長さの半分)^2=(円Cの半径)^2

　です。（三平方の定理より）
　ここで、線分ABの長さをsとし、(b)から線分CC'の長さは(√7)/2なので

　s^2+((√7)/4)^2 = 1
　これより
　s=3/2

　よって、線分ABの長さの最大値は　3/2 です。

お礼

早速の回答ありがとうございました。詳しい回答をしていただいたのでこれを参考にして頑張ってみます。